О некоторых экстремальных и геометрических задачах теории отображений

• Автор: Александров, Александр Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 79 с.

Список основных обозначений
N- множество натуральных чисел;
С - комплексная плоскость;
Е - круг {г: г< 1/;
51 - класс голоморфных однолистных в Е функций /(2)=г+с2ф22+... +сп(/)2?+...;
Спф - п-й тейлоровский коэффицент в разложении функции/в окрестности нуля;
Упф) - и-й логарифмический коэффицент в разложении функции /в окрестности нуля;
5- подкласс класса Б тех функций, которые отображают Е на плоскость С{0} с разрезом по обобщенно непрерывной простой жордановой кривой, идущей в бесконечность;
= 7—=—' Функция Кебе;
р(а’Ю(х) - _ Ь ~ х),,+а (1 + х)л+/'| - полином Якоби;
" 2"и!(1 - х)“(1 - х) с!хп ;
(а)у ~ а(а +!)...(« + V -1) - символ Похгаммера;

биномиальный коэффициент;

{а)т{р)тгт
_ у — _ гиперге0мехрическая функция Гаусса и
»1=0 00» >П'
гипергеометрическии ряд;

qvn кп--ч,

полином Бранжа;

Цх) = 1п со$.х(1х - функция Лобачевского;

а(м>) - сигма-функция Вейерштрасса, т.е. целая функция
а(и) = иП'

для которой точки периодов являются простыми нулями. Здесь
Т ®1 А
х=Ш1С01+ ГП2СО2; Ш1 и Ш2 - целые числа, (О/ и (О2 - периоды, .1 т - 0;
СО-у
Лд _ м(т) + д йт /л(т)-д с1ц/ __ду/ /и(т) + г <1т дг ц(т)
уравнения Левнера;
/л{г) - управляющая функция в уравнении Левнера.
Введение
Работа посвящена исследованию геометрических и экстремальных свойств классов однолистных аналитических функций одного комплексного переменного. В работе указаны те управляющие функции в уравнении Левнера, которым соответствуют экстремальные функции в теореме вращения, аналогичные задачи решены для граничных функций относительно простейших функционалов на классе однолистных голоморфных в круге функций, указана связь полиномов Бранжа с решениями уравнения Левнера с постоянным управлением, получена формула для производящей функции для полиномов Бранжа, выведена формула типа формулы Кристоффеля-Шварца для конформного отображения полосы (полуплоскости) на специальные области с симметрией переноса.
Актуальность темы. Краткие исторические сведения. Доказанная в 1907 г. П Кебе [1],[2] теорема о существовании круга, покрываемого образами единичного круга Е = {г |г|<1) при отображении голоморфными в нем однолистными функциями /(г) = г+с2(/)22+...+сп(/)2"+
(их совокупность образует класс Б), стимулировала рост интереса к экстремальным задачам геометрической теории функций. Л.Бибербах [3], основываясь на теореме площадей Гронуолла [4], доказал в 1916г., что радиус круга, указанного Кебе, равен 1/4. В более поздней работе Л.Бибербах [5] дает точную оценку модуля производной на классе Б и неточную оценку аргумента производной. Точная оценка на
классе Б была получена Г.М.Голузиным [6] и И.Е.Базилевичем [7],[8] и составила содержание теоремы вращения. Доказательство основывалось на методе, предложенном в 1923г. К.Левнером [9] и, в частности, на выведенном им уравнении для семейства отображений на области специального вида. Создание вариационных методов

В уравнении Левнера с найденным /л сделаем замену переменной т на р. Получим
= + ±2р] 1<1р.
Оур{-р2)
Вместо переменной £ введем переменную х формулой С~Ох. Рассматриваемое уравнение примет вид
Ох у
х =г,

где штрихом обозначены производные по р. Легко видеть, что

ОХр)-О(р)
кр'(р)

Р = І (р'{р)

Л±УІ2р
Р(}~Р2)
Воспользуемся формулой для у у(р) и представим уравнение в виде
{0х)

1 + 2р2-1 ,±2р2-

-срр)
1 + л/2/72 -1 1 ± л]ір2

2 р 2 р
Умножим левую и правую части уравнения на
1 ± 2р2 -1 1 + 2р2 ~1
т—с:
2р 2 р
Для сокращения записи используем обозначение
х(г) = 2.

1±2р2

В левой части уравнения имеем
= а±(р) = а~