Некоторые экстремальные задачи для алгебраических многочленов в плоскости

• Автор: Парфененков, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 52 с. : ил.

Содержание
Обозначения
Введение
Глава 1. Наилучшее продолжение алгебраических
многочленов с единичной окружности
§ 1.1. Постановка задачи
§ 1.2. Структура класса 0.п(Рп)
§ 1.3. Оценка снизу для случая г > 1
§ 1.4. Оценка сверху для случая г >
§ 1.5. Оценка снизу для случая 0<г<
§ 1.6. Оценка сверху для случая 0 < г < 1
Глава 2. Точное неравенство между равномерными нормами алгебраического многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях комплексной плоскости
§2.1. Постановка задачи
§ 2.2. Неравенства для тригонометрических полиномов
§ 2.3. Неравенства для алгебраических многочленов
§ 2.4. Интерполяционная формула
Список литературы

Обозначения
N = {1,2,...} - множество натуральных чисел;
R = (—оо, +оо) - множество вещественных чисел;
С = {а + Ы : а Є М, Ь Є К} - множество комплексных чисел;
Гг - окружность радиуса г > Ос центром в начале координат плоскости;
С[а,Ь] - пространство вещественнозначных функций, непрерывных на отрезке [а, Ь], с равномерной нормой ||/||с[аЫ ~ max |/(*)|ї
а<х<Ь
(7(Гг) - пространство вещественнозначных функций, непрерывных на окружности Гг, с равномерной нормой;
Р„ - множество алгебраических многочленов
Рп{х,у) = ак>тхкут
к,т>0, к+т<п
от двух вещественных переменных (х, у) Є R2 степени не выше п > О по совокупности переменных с вещественными коэффициентами;
- множество многочленов Рп Є Рп, равномерная норма которых на единичной окружности не превосходит единицы:
ІІ-РпІІсдг!) < 1;
'Нп - множество гармонических многочленов от двух переменных степени не выше п, т.е. многочленов Н„ є Р„ со свойством ДНп = 0;
Vn - пространство алгебраических многочленов

= cfc є с,

комплексного переменного г степени не выше п > 0 с комплексными коэффициентами;

V* - подкласс многочленов из Рп с вещественным свободным коэффициентом, т.е. со Е Ж.

Сделаем полярную замену координат: х = рcosip, у = psinр. Тогда многочлен (1.6.1) преобразуется в функцию, зависящую от р и ip, которую условимся обозначать для простоты через Pn(p, ip). На единичной окружности (р = 1) эта функция является тригонометрическим полиномом по переменной <р

Рп( 1, ip) - COS kip + Pk Sin кір),

коэффициенты {<Ук} и {Рк} которого определяются однозначно по коэффициентам {ак,т} многочлена (1.6.1). Положим

Q*n(pi
n—2 / 2 і
Р ~~ гп-к Р

рк(ак cos кір + Pk sin kip).
1 — r
Учитывая тождество x2 + у2 — p2 , нетрудно видеть, что Q* действительно есть многочлен переменных х,у порядка п. Кроме того, простой подстановкой проверяется, что Q*(l, Qn € П„(РП).
На окружности радиуса г имеем

Qn(r, ч>) = гк {ак cos kip + Pk sin kip) + rn cos kip + pk sin kip).
k=n—1 fc=
Преобразуем это выражение следующим образом:
Qn(P Ф) = r" S ^Z(ak cos kip + рк sin к<р)+

+ | --1 r
Oin-1 cos (n — 1 )ip + Pn_i sin (ті — l)
rn Pn( 1,