О вариационном и параметрическом методах в теории однолистных функций

• Автор: Сыркашев, Аркадий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 97 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Оглавление
Введение

Глава 1. Вариации однолистных функций

§1.1 Т еорема Г олузина

§ 1.2 Вариационные формулы в классе У

§1.3 Вариационные формулы в классах однолистных функций

§1.4 Вспомогательные вариации

Глава 2. Параметрическое представление однолистных функций 41 §2.1 Уравнение Левнера-Куфарева

§2.2 Некоторые случаи интегрирования уравнения

Левнера-Куфарева

§2.3 Вариационные формулы в классе 5(С, 7)
§2.4 Объединенные методы
Глава 3. Экстремальные задачи в классе 5
§3.1 Функционал
§3.2 Дифференциальное уравнение для граничных функций
§3.3 Качественный анализ уравнения Шиффера-Голузина
§3.4 Кривизна линий уровня функций класса 5
Литература
Список научных работ автора

ВВЕДЕНИЕ
Краткий исторический обзор
Геометрическая теория функций комплексного переменного является
# важной и содержательной частью математического анализа. Она изучает аналитические функции, определяемые каким-либо геометрическим свойством, а также геометрические свойства различных классов аналитических функций. Одним из таких свойств является конформность. Конформные отображения играют важную роль в математике и ее приложениях - теории упругости, гидромеханике, аэродинамике и др. Неудивительно, что голоморфные однолистные функции, реализующие
• такие отображения, подверглись многочисленным и интенсивным исследованиям. Фундамент этим исследованиям заложил Б. Риман, сформулировавший в 1851 году теорему о конформном изоморфизме односвязных областей [48]. Большой вклад в развитие зарождавшейся теории сделал К. Каратеодори. Он доказал теорему о сходимости областей к ядру, а в работах [25], [26] детально рассмотрел вопрос о граничном соответствии, предложив теорию простых концов и доказав теорему о
« соответствии границ при конформных отображениях.
В теории однолистных функций значительное внимание уделяется исследованию геометрических свойств класса 5" голоморфных однолистных в единичном круге функций /(г), нормированных тейлоровским разложением f{z) = 2 + с222 + .... Многие вопросы здесь могут быть сформулированы либо в виде задачи исследования на экстремум некоторого вещественнозначного функционала, либо в виде задачи нахождения множества значений некоторого комплекснозначного

функционала, определенного в этом классе. Класс S не является линейным, и для решения в нем экстремальных задач методы классического вариационного исчисления оказываются неприменимыми. Поэтому математиками в теории однолистных функций были предложены различные тонкие методы. В работах К. Каратеодори, П. Кебе, Л. Бибербаха, Т. Гронуолла, К. Левнера 10-х, 20-х годов прошлого века были поставлены и решены первые экстремальные задачи геометрической теории функций, предложены первые методы исследования таких задач.
В 1914 году Т. Гронуолл [20] доказал теорему площадей, которую в 1916 году [11], [12] использовал Л. Бибербах для нахождения константы Кебе и оценки | с21 ^ 2 коэффициента с2 в разложении в ряд Тейлора функций /(z) = z + c2z2 +... класса S. Он также предположил, что с„<п. Это предположение стали называть гипотезой Бибербаха. Задача оценки коэффициентов на протяжении почти целого века оказалась неразрешимой и являлась пробным камнем для проверки эффективности новых методов теории однолистных функций.
В 1923 году К. Левнер [41] представил параметрический метод, получив с помощью теоремы Каратеодори о сходимости семейства областей к ядру дифференциальное уравнение для семейства функций, сходящегося к данной однолистной функции. Посредством этого уравнения он доказал гипотезу Бибербаха для третьего коэффициента. Систематически развил метод Левнера Г.М. Голузин, доказав, в частности, с его помощью теорему вращения. Параметрическим методом удалось получить ряд точных оценок, а в некоторых случаях, проинтегрировав уравнение Левнера, найти экстремальные функции. В 1943 году П.П. Куфарев [31] дал обобщение уравнения Левнера, названное уравнением Левнера-Куфарева, с помощью которого были решены многие трудные задачи теории однолистных функций. Метод продолжения по параметру использовали в своих работах Г.М. Голузин, И.Е. Базилевич, П.П. Куфарев, И.А. Александров,

g(z, e) =/(z) exp( E(p{z) ), /(z) € 5*,

(p{z) = f[Bk^i- + Bkze£, ' г-z* l-z*zj

и В/о к ^ 1,2,..., m, - комплексные постоянные. Она голоморфна по z в ЛГ(г, 1), г = maxIzJ, при каждом фиксированном е и дифференцируема по с
при е = 0 равномерно внутри Е, поэтому имеет место разложение g(z, е) =/(z) + ф(г)ф) + y(z, е) равномерно внутри K(r, 1).
Пусть z', z" - различные точки из K(r, 1). Поскольку /(z) однолистна в этом кольце, найдется постоянное К, К> 0, такое, что ]f{z')-f(z")> К. Тогда при достаточно малых е справедливы следующие неравенства
|g(z',ff)-g(z",£)|>||/(z')-/(z'')|-£|/(zXz')-/(z")p(z'')||>
>K-Ef(z')(p(z’)-f{z")cp{z")>Q,
откуда следует, что g(z, е) однолистна в K{r, 1).
Покажем, что внешняя граничная компонента образа кольца K(r, 1) при отображении w = g(z, е) ограничивает звездообразную относительно w = О область. Тогда /(£, е) будет звездообразной относительно нуля областью, и функция/(г, с) попадет в класс S*. Имеем
= Re^-^-2£Ref; Bk— -*■—T-Bk—M-j /(z) *.,[ (z-zk) (1 -zkz)
Рассмотрим это равенство при z = ге,в. Поскольку первое слагаемое в правой части равенства положительно при любых г и в в силу звездообразности функции/(z), и поскольку