Оценки количества рациональных точек на выпуклых кривых и поверхностях

• Автор: Петров, Федор Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 68 с. : ил.

§0. Введение

Глава 1. Асимптотические оценки количества

РАЦИОНАЛЬНЫХ ТОЧЕК ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЗНАМЕНАТЕЛЯХ

§1. Предварительные сведения: аффинная площадь поверхности

§2. Оценка объема выпуклой оболочки "сильно не

пересекающихся" множеств

§3. Оценки количества рациональных точек на поверхности

§4. О точности оценок теоремы 3

§5. Другие последовательности мелких сеток

Глава 2. Несуществование выпуклой кривой с максимально возможным числом рациональных ТОЧЕК

§6. Определения и обозначения. Основные технические

леммы
§7. О распределении целых точек на поверхности
ab-cd=const
§8. Основная часть
§9. О возможном количестве точек на выпуклой поверхности 61 Список литературы
- з -§0. Введение
Актуальность темы. Работа относится к асимптотической геометрии чисел. В самом общем контексте речь идет об оценке количества точек решетки, принадлежащих данному множеству. Сюда относится, например, проблема круга (в старшей размерности — проблема шара) об оценке остаточного члена Н(А) в равенстве
#{(я, у) Є Ъ2: т2 + у2 ^ И2} = тгА2 + Я(А).
Этой проблематике, а также асимптотике количества рациональных точек в других областях, посвящено множество работ, использующих, как правило, методы аналитической теории чисел.
В диофантовой геометрии одним из основных является вопрос о количестве рациональных точек на алгебраических поверхностях.
В диссертации исследуется вопрос о возможном количестве рациональных точек на границе выпуклого тела. Тут имеется связь как с проблемой шара (поскольку остаточный член для количества точек внутри вообще говоря не меньше количества точек на границе), так и с диофантовой геометрией (для некоторых алгебраических поверхностей в вопросе о количестве целых точек оказывается существенным общее геометрическое свойство выпуклости).
В размерности 2 этот вопрос был впервые поставлен в работе Ярника [1], в которой получена оценка вида С • 12/3 на количество целых точек на плоскости, образующих выпуклый многоугольник периметра I. Ярником также была вычислена асимптотически точ-

ная константа С — З(27г)-1'/3. В 1963 году Эндрюс [13] обобщил результат Ярника на случай большей размерности, доказав, что объем V выпуклого многогранника в Жй с N целыми вершинами не меньше чем С (б) • При й?=2 получаем оценку С • 51/3 на количество целых точек на плоскости, образующих выпуклый многоугольник площади Б. Из изопериметрического неравенства видно, что эта оценка сильнее, чем С ■ I2'3.
Пусть 7 — фиксированная ограниченная строго выпуклая кривая на плоскости, Г — ограниченная строго выпуклая поверхность в Ж'*. Положим кп(7) := #(7Ґ1 ^2), &П(Г) := #(ГП р^)-Приведенные результаты Ярника и Эндрюса можно переформулировать следующим образом:
Ш < с • /1/3(7) • п2/3, кп(Г) ^ Сл • УЦг) • п«-МЫ)
(здесь за /(7) обозначена длина кривой I, за V(Г) — объем выпуклой оболочки поверхности Г). Оценкам на величину кп при различных ограничениях на Г посвящен ряд работ.
Свиннертон-Дайер [3] доказал, что для кривой 7, являющейся графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции с всюду ненулевой второй производной, при любом є > 0 выполняется оценка кп(7) ^ 0(7, є) -п3/5+£. Шмидт [12] доказал ту же оценку для кривой у = /(х), л Є [0,1], являющейся графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции / такой, что /" существует, нестрого монотонна и обращается в 0 не более чем в одной точке.

Как указала автору Е. П. Голубева, это утверждение содержится в статье [18]. А. Городник сообщил о возможности эргодиче-ского подхода к таким задачам (например, [9]). Мы изложим простое и достаточно элементарное доказательство.
СЛЕДСТВИЕ. Рассмотрим треугольники (определенные с точностью до параллельного переноса) такие, что
1) ЩЩе АпПЙ2;
2) [РД]<АГ(п/£)1/3;
3) г(РдД) € 2п5'-1(^1 Дг) (0 < и < *2);
4) 3(Р(^И,) ^ т (тбК).
Для числа АГ(т, М, ^Дг) таких треугольников выполняется соотношение (при тг —оо):
А(т,М,<1Д2) ^е(т)(£3 - ^)(п52)1//3 + о(п2^).
Доказательство сразу следует из леммы 7.1 для областей П(т',МДь*2) = {(р,?):0<р, П(т', оо, 0,1) имеет конечную площадь.
Рассмотрим ограниченные квадрируемые области Г&1, Д2 С М2. Поставим следующий вопрос: какова асимптотика количества М(£1, 02; н) пар векторов Х1€п(ДГ^2, х2епГ22П22, таких, что XI х х2 = 1. Рассмотрим сначала случай треугольников
= {(х,у) : 0 < у < х^аД (г = 1,2, щ > 0). (7.1)