О модулях непрерывности и их применениях в проблемах вложения классов функций и приближения функций

• Автор: Медведев, Андрей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с.

Оглавление
Введение
1. Два обобщения леммы С.Б.Стечкина о вогнутой мажоранте модуля непрерывности
1.1. Обобщение леммы С.Б.Стечкина о вогнутой мажоранте на модуль непрерывности от нескольких переменных
1.2. Решение задачи П.Л.Ульянова о существовании гладкой вогнутой мажоранты модуля непрерывности
2. О вложениях классов Нш непрерывных функций двух переменных в классы АВУ функций обобщенной ограниченной вариации
2.1. Теоремы общего характера
2.2. Случай симметричных модулей непрерывности
2.3. Связь проблемы вложения классов для функций двух переменных с проблемой вложения классов для функций одной переменной
2.4. Частные случаи
3. Теоремы типа Джексона для наилучших приближений кусочно-постоянными функциями в пространствах Орлича
3.1. Прямая теорема типа Джексона
3.2. Обратная теорема типа Джексона
Литература

Введение
Одним из основных понятий в теории аппроксимации функций является модуль непрерывности функции от одной или нескольких переменных, который определяется по-разному в зависимости от типа рассматриваемых функций. Если функция непрерывна, то, как правило, ее модуль непрерывности оценивает разность значений функции в любых двух точках из ее области определения. В случае измеримых функций, принадлежащих, например, пространству I/, 1 < р < оо, используют интегральный модуль непрерывности функции. Кроме того, вводят понятие модуля непрерывности как самостоятельной функции с определенными свойствами. Модуль непрерывности и модуль непрерывности функции — два различных понятия, тесно связанные друг с другом. Если задан модуль непрерывности, то можно выделять классы функций, для каждой из которых ее модуль непрерывности оценивается сверху с точностью до постоянного множителя заданным модулем непрерывности, и доказывать теоремы сразу для целых классов. Такими классами являются, например, классы Липшица.
Настоящая диссертация состоит из трех глав. Во всех главах значительное место занимает понятие модуля непрерывности или модуля непрерывности функции, а в первой главе модуль непрерывности — единственный объект исследования.
В первой главе решена задача, поставленная П.Л.Ульяновым на семинаре по теории функций в Московском государственном университете. Точную формулировку задачи и полученного нами решения этой задачи дадим после необходимых для изложения определений и краткого обзора истории вопроса.
Функция сг(£), определенная на полупрямой [0, со) или на отрезке [О,/], О < / < оо, называется модулем непрерывности, если она не убывает, полуаддитивна и Нта>(£) = а>(0) = 0.

Полуаддитивность означает, что а>(И-И2) < сДИ)+ц;(£2) для всех tl,t2, для которых обе части неравенства имеют смысл. Ясно, что oj(t) > 0 во всех точках определения функции. В исследованиях ряда авторов используется вогнутый модуль непрерывности, то есть модуль, удовлетворяющий неравенству u{atl + (1 — a)t2) > au>(tl) + (1 — a) u(t2) для 0 < а < 1 и t1, t2 из области определения ш. Не всякий модуль непрерывности является вогнутым. В связи с этим весьма полезным оказалось существование вогнутой мажоранты модуля непрерывности, также являющейся модулем непрерывности.
Первым применил такую мажоранту А.В.Ефимов в работе [11], где доказана следующая лемма, принадлежащая, как указывает автор, С.Б.Стечкину. (Мы нумеруем только те леммы, которые являются частью наших собственных доказательств.)
Лемма А. Для любого модуля непрерывности u(t) ф О, заданного на отрезке [0, я], существует вогнутый модуль непрерывности Со (t), удовлетворяющий на (0, я] неравенству u>(t) < ü(t) < 2w(t), причем множитель 2 нельзя заменить на меньшую константу.
Из доказательства в [11] видно, что лемма остается справедливой, если отрезок [0,7г] заменить на любой отрезок [ОД]. В монографии
Н.П.Корнейчука [12, стр. 182] содержится лемма, отличающаяся от леммы С.Б.Стечкина лишь тем, что она относится к модулю непрерывности, определенному на полупрямой [0, оо). Именно такой вариант леммы понадобился нам для решения задачи П.Л.Ульянова. Доказательство в [12], как будет показано на примере в §1 главы 1, опирается на неверное утверждение. Аналогичное утверждение есть и в [11], но там оно верно в силу компактности отрезка. Позже Н.П.Корнейчук [13, стр. 670], изменив доказательство, получил более общую лемму для модуля непрерывности U!, определенного на [0, сю). Ее формулировка приведена в §1 главы 1 данной диссертации. Мы упоминаем монографию [12], поскольку ее автор указывает и в самой монографии (стр. 311) ив [13, стр. 671], что доказательство в [12] для со на полупрямой [0, оо) принадлежит Стечкину. Такое указание неточно, иначе оказалось бы, что недостаток в доказательстве допустил

Поэтому Hm Тогда
t—ïoо t to to
Hm < Hm < ПЫ < lim
—>-00 ~t t__.QQ t t—ЮО t t—oo t
Отсюда следует первое утверждение леммы.
Поскольку û(t) — вогнутая функция, то существует конечная или бесконечная правая производная 6/(0). Если 6/(0) = оо, то и>'(0) = со в силу теоремы 1. Если ti)'(O) < со, то зафиксируем t и перейдем в (7) к пределу
при t0 —> 0. Получим üi(t) < t lim . Отсюда с/(0) < lim С другой
г-» о t *->о t
стороны, lim— < ü/(0). Поэтому а/(0) = 6/(0). Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть v(t) — вогнутая функция, определенная в окрестности отрезка [а,Ь], и пусть у = kt + d и у = krf + 62 — касательные, проведенные к графику вогнутой функции v(t) в точках с абсциссами а и Ь. Если эти касательные пересекаются в точке (с, у о) такой, что у0 > v(c), то для любого е > 0 существует, определенная на [а, 6] бесконечно дифференцируемая и вогнутая функция u(t), удовлетворяющая условиям:
1) 0 < u(t) — v(t) < £ для всех t € [а, b;
2) u(t) = kit + di в некоторой правой окрестности точки а, u(t) = kït + d2 в некоторой левой окрестности точки Ъ.
Для доказательства леммы 2 и в дальнейшем нам потребуется известный прием сглаживания функций. Для каждого 5 > 0 определим на (—оо,со) четную бесконечно дифференцируемую функцию 6 и > 0 при |£| < S.
Потребуем также, чтобы интеграл от оо S
/(â, t) — J f(x)(p(ô,x — t)dx = j f(x + t)(p(ö,x)dx.