Решение краевых задач теории аналитических функций в алгебрах Владимирова и умножение распределений

• Автор: Шелкович, Владимир Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 150 c. : ил

Глава I. ОБОЗНАЧЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ

РЕЗУЛЬТАТЫ

1.1. Обозначения

1.2. Конусы

1.3. Регулярные множества

1.4. Пространства счю и й'са.)

1.5. Пространства основных и обобщенных функний

1.6. Алгебры Владимирова

1.7. Интегральное представление Бохнера-Владимирова

Глава 2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ В АЛГЕБРАХ ВЛАДИМИРОВА И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТИПА БОХНЕРА-ВЛАДИМИРОВА
2.1. Постановка задачи Римана для /=> -конуса и решение задачи о скачке для р -конуса
2.2. Решение задачи о скачке для октантов
2.3. Решение одной задачи Римана для плоского биконуса
2.4. Решение задачи Римана для конуса
2.5. Решение задачи Шварпа
2.6. Постановка задачи Гильберта и сведение ее к
задаче Римана
2.7. Задача Гильберта, сводящаяся к задаче Шварпа
2.8. Интегральное представление типа Бохнера-Владимирова

Глава 3. УМНОЖЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ МЕДЛЕННОГО Стр<
РОСТА И ГИПЕРРАСПРЕДЕЛЕНИЯ В.К.ИВАНОВА
3.1. Пространство аналитических представлений распределений
3.2. Алгебра Ж*
3.3. Пространство гиперраспределений 4е
3.4. Умножение распределений и его корректность
3.5. Примеры ( ь )
Глава 4. ОДНА АЛГЕБРА ГИПЕРРАСПРЕДЕЛЕНИЙ В.К.ИВАНОВА,
СВЯЗАННЫХ СО СВЕТОВЫМ КОНУСОМ
4.1. Распределения, связанные со световым конусом
4.2. Аналитические представления распределений из Ео . юо
4.3. Алгебра гиперраспределений <4

4.4. Тождества для элементов 4^
Глава 5. АЛГЕБРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И ВЕКТОР-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
5.1. Алгебра Ь и пространство Е*
5.2. Умножение вектор-распределений
5.3. Преобразование Фурье
5.4. Первообразная
5.5. Значение в точке
5.6. Свертка и несобственный интеграл
5.7. Случай конечного точечного сингулярного носителя
5.8. Об оптической теореме теории рассеяния
5.9. Нелинейные дифференциальные уравнения
5.10. О регуляризации Наканиши
Литература

В диссертации исследуются аналоги классических краевых задач теории аналитических функций многих комплексных переменных для распределений (обобщенных функций), находятся условия их разрешимости и даются общие решения ;в явном виде в замкнутой форме с помощью построенного интегрального представления типа Бохнера-Владимирова. Кроме того, рассматриваются вопросы, связанные с умножением распределений, строятся ассоциативно-коммутативные алгебры распределений. Для всех решаемых в диссертации задач используется общая методика и математический аппарат, связанный с алгебрами Владимирова; для них получены законченные результаты.
Многие задачи математической физики приводят к решению классических краевых задач Римана, Гильберта, Шварца. Эти задачи и их приложения подробно исследованы [45] . В последние двадцать лет появились работы, рассматривающие эти задачи в различных классах распределений. Такие задачи также имеют приложения, например, в квантовой теории поля [8; гл. УJ . Так, задача Рима-на, исрледованная В.С.Владимировым в [9] , является в некотором смысле' обобщением знаменитой теоремы об "острие клина" H.H. Боголюбова ( см. [8] ). Первая постановка задачи Римана в классе распределений принадлежит О.С.Парасюку. Дальнейшее развитие задача Римана получила в работах Ю.И.Черского [58] и B.C. Рогожина [47] . Все эти работы исследовали одномерный ( гг= I) случай. Близкая задача о представлении произвольного распределения в вцце суммы 2 п граничных значений функции,голоморфной в (С*£ЛУ рассмотрена при к,? 2 Тильманом [92] - [94] (см.обзор в [9;
§ 2] ). Многомерная зацача Римана для трубчатых радиальных об-

Заметим, что неоднозначность перехода от краевого условия (2.41) к (2.45) не сказывается на общем решении задачи (2.41),так как неоднозначности дают вклад только в неопределенную часть решения (2.36)-(2.38), то есть в функции /]* (2,) и /1 к
Из теоремы 2.2 при п = 2 следует, что задача (2.45) всегда разрешима, и ее общее решение

<4=Ф4+4), - Ф" а) , (2.46)
<£*(*) +4^) = Ф4"6*) , + - Ф~'(Л) (2>47)
дается соответствующими формулами (2.29).
Теперь, подставляя значение о644(л) из (2.46) в (2.42)
и деля обе частя (2.42) на 0 Ф £ С°°((1'1) , получим
краевую задачу

44 І—- об4' = ф+4/Л4' ,
А,4' ^ 7 * (2.48)
так как є 9М , то рассуждая так же, как выше, мы можем представить распределение Ф ++/я.’- в виде (2.42).Отсцца
р-ЧФ++/й+-]е5'(С+4*иС4'*)
и, следовательно, согласно теореме 2.2, задача (2.48) всегда разрешима, а ее решение при т ^ имеет вид
* С ) а+*о)1И*Г а.*-а)1^Н) +
І22І _
+ /_ , 2 6 I
(2.49)
"Г'Т