Обобщение теорем Неванлинны и изменение асимптотического поведения целой функции при сдвигах ее нулей

• Автор: Кудашева, Елена Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 108 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Предварительные сведения к теоремам Неванлинны

Глава 2. Не положительные нерадиальные вариации

теорем Р. Неванлинны

Глава 3. Исторический обзор результатов о сдвигах нулей

целых функций

Глава 4. Изменение поведния субгармонической функции при трансформации ее меры Рисса и

целой при сдвиге ее нулей

Глава 5. Аппроксимация целой функции другой

целой функцией с простыми нулями

Список литературы

Введение
В общей теории аналитических и субгармонических функций одно из центральных мест занимают вопросы распределения нулей голоморфных функций и их асимптотического поведения.
Особый интерес вызывает исследование распределения нулей голоморфных функций в единичном круге 2? комплексной плоскости (С и их асимптотического поведения вблизи границ области определения. Полученные результаты представляют интерес не только как внутренние вопросы теории распределения значений голоморфных функций, но и как необходимый этап исследования таких вопросов теории функций комплексного переменного, как теории аппроксимации, интерполяции, аналитического продолжения, спектрального синтеза и т.д.
Работу условно можно разделить на две части, связанные между собой тем, что они опираются на вопросы распределения нулей функций.
Первая посвящена изучению распределения нулей голоморфных функций в единичном круге /) комплексной плоскости С и представления меро-
морфных функций в виде отношения голоморфных.
В качестве основной отправной точки этого исследования можно рассматривать классический результат Р. Неванлинны, опубликованный в работах [26], [27] (1939, 1941гг.). Развитие этой тематики продолжено в работах: М.М. Джрбашяна [13], [14], [15] (1945, 1969, 1973гг.), А.Г. Нафталевича [23], [24] (1953, 1961 гг.), М. Цудзи [78] - [80] (1956, 1959, 1975гг.), Б. Коренб-люма [66], (1975г.), Т. Гамелина [57] (1978г.), Ф.А. Шамояна [44] (1983г.), Р. Коулвела [56] (1985г.), Д. Паскуаса [71] (1988г.), С. Горовица [60], [61] (1974, 1995гг.), Е. Беллера [48], [49] (1977, 1994гг.), П. Кусиса [19] (1984г.), Дж. Гарнета [6] (1984г.), Г. Бомаша [50] (1992г.), Д. Бруна и К. Массанеда [52] (1995г.), К. Сейпа [75] - [77] (1994, 1995гг.), Д. Льюкинга [67] (1996г.), А. Боричева и Г. Хеденмальма [51] (1997г.). Актуальность данной тематики

видна в работах последних лет. Значительные результаты в этой области получены Г. Хеденмальмом, Б. Коренблюмом и К. Жу [59] (2000г.), A.A. Кондратюком и Я.В. Васильковым [65] (2001г.), В.Я. Эйдерманом и Маттс Эссеном [46] (2002г.), С. Сандбергом [74] (2002г.), О. Бласко, А. Кукуряка и М. Новаком [53] (2004г.), Б.Н. Хабибуллиным [29] - [32], [39] (2003, 2004, 2007, 2009 гг.) и др.
Приведем объединенные формулировки теорем Р. Неванлинны о распределении нулей и о функциях ограниченной характеристики, следуя [30]. Обозначим через D(z,t) открытый круг на комплексной плоскости € с
центром в точке z € С радиуса t > 0, D := Z)(ö,l) - единичный круг, 8D-
единичная окружность. Через Zeroу последовательность нулей
А = {Лк}, к е N функции f в единичном круге D, перенумерованную с
учетом кратности.
Теорема Неванлинны (о нулях). Попарно эквивалентны следующие утверждения:
1. Последовательность А = {Лк}, к € N — последовательность нулей
ограниченной голоморфной в D функции.
2. Для любой функции fA, голоморфной на единичном круге, с последовательностью нулей Zeroj^ =A — {Äk} выполнено условие
(0.1)
3. А — {Лк} = Лег О у последовательность нулей для некоторой голоморфной на единичном круге функции /А удовлетворяющей условию (0.1).
откуда имеем
| sin^ |< л/l -х2 при С, = te,у/ е Si (х). (2.17)
Затем, огрубляя левую часть (2.16) до 1, из квадратного относительно t неравенства хГ -21 + х находим ограничения
jc-Vl-x2. (2.18)

Таким образом, из двух последних неравенств, используя повороты круга на угол — 0, получаем включение
^+(z)cD(z;l). (2.19)
Покажем, кроме того, что при I z |> 2/3 круг D(z, 1— | Z [) содержится в □(z; 1). Вновь достаточно обойтись случаем z = х > 0. Расстояние от точки х согласно (2.18) до самой удаленной точки “полярного квадрата” D(x;l) на
отрезке [0,х] равно л/l — х2 , что больше 1 —х при всех 0<х<1. Кроме
того, ввиду равенства sinty/ = ±лА — х2 при ^ = te'¥, лежапщх на двух ограничивающих “полярный квадрат” Ш(х;1) частях радиусов круга D,
расстояние до этих частей равно хл/1 — х2 . Неравенство
1 — х < хл/l —х