Метод канонической матрицы решения векторной краевой задачи Римана-Гильберта и его приложения в граничных задачах для кинетических уравнений

• Автор: Сушков, Владислав Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 93 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I Постановка граничной задачи

§ 1. Собственные функции непрерывного спектра

§2. Дискретный спектр собственных значений и граничные условия

ГЛАВА II Однородная матричная краевая задача

§ 1. Общая схема применения метода канонической матрицы

§2. Диагонализация матричного коэффициента

§3. Однородная краевая задача

§4. Построение канонической матрицы

ГЛАВА III Теорема о полноте и ее применение для решения

граничных задач
§1. Полнота системы собственных функций характеристического уравнения
§2. Решение граничной задачи
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
В данной работе рассматривается метод канонической матрицы в применении к теории модельных кинетических уравнений, вшникакжцих. при рассмотрении прикладных задан кинетической теории газа и плазмы, теории аэрозолей, экологии, а также авиационной и космической промышленности.
При решении граничных задач, возникающих в этих областях, возникает необходимость построения решений векторных краевых задач Римша-Гильберта Теория таких задач в свое время развивалась НИ Мусхеяишвили, Ф.Д Гаковым, ИН и НГ1 Векуа ВС, Владимировым, тем не менее достаточно удовлетворителшой методики создано так и не было. Таким образом, решение целого класса физических задач сводится к разрешению чисто математической проблемы В предлагаемом исследовании рассматривается методика решения именно таких векторных краевых задач; полученные результаты применяются к граничным задачам теории кинетических уравнений.
ВнтегродафференшгатЕьное уравнение, описывающее поведение разреженного газа (так называемое уравнение Больцмана), отнюситеяшо функции распределения /(.х,|,г) молекул разреженного шза по координатам х и скоростям в момент времени /•
д/ / ді + § • д/ / дх + X • 8/ / д $ = в ( /, /) , (0.1)
где £>(/„/) - билинейный оператор, называемый оператором
столкновений, а х - действующая на молекулы внешняя сила отнесенная

к единице массы, было введено Людвигом Болы^аном в 1872. г. [4, 10, 51]. Так как уравнение Больцмана содержит частные производные функции / по координатам и времени, то для его решения следует задать начальные и краевые условия, что означает постановку для уравнения (0.1) начально краевой (смешанной) задачи.
Одна из основных трудностей, вошикакящк при решении сравнения Больцмана, обусловлена сложной структурой интеграла ; столкновений (см., например, [3]) Поэтому для него были предложены другие, более простые выражения - так называемые модели интеграла столкновений (соответственно уравнение (0.1) с модельным интегралом столкновений называется модельным кинетическим уравнением) [23, 24, 25] Модель сохраняет основные свойства интеграла столкновений, давая возможность облегчить исследование конкретных особенностей решения уравнения Больцмана Наиболее известную из таких моделей называют моделью Ехатнапра Гросса и Крука (БГК-моделью), хотя Веданцер предложил ее примерно в то же время [5, 53]. Основным премшедеством при использованзш БГТС-оператора является возможность сведения любой задачи к линейной системе интепэальньж уравнений.
Начиная с 60-х годов XX столетия к уравнению Больцмана с интегралом столкновений в форме БГК начали проявлять значительный интерес. Толчком для этого послужило развитие Кейзом техники сингулярных обобщенных собственных функций [11, 30], Гфедложенной им первоначально для применения в теории переноса нейтронов. Метод Кейза состоит в разложении решения по обобщенным собственным футщиям и широком применении мощных методов теории функций комшіексного переменного. Используя этот метод, Черчиньяни [32] построил в 1962 году анашсгичесжое решение БПС-уравнения для частного ~ скалярного - случая. При этом центральным звеном предложенного подхода стало решение краевой .задачи Риманар-Гильберщ, опиравшееся на теорию Муехелжптшш [21]. Однако механический перенос методов