Спектральные асимптотики для индефинитной задачи Штурма-Лиувилля и задачи Орра-Зоммерфельда

• Автор: Дьяченко, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 86 с.

Оглавление
Введение
1 Спектр индефинитной задачи Штурма-Лиувилля
1.1 Решения уравнения в случае /(ж) = х
1.2 Решения уравнения в случае одной точки поворота
1.3 Собственные значения в случае одной или двух точек поворота
1.4 Собственные значения в случае конечного числа точек поворота
1.5 Осцилляционные свойства собственных функций
2 Модельная задача для уравнения Орра—Зоммерфельда
2.1 Решение модельного уравнения
2.2 Собственные значения на луче >-*°°)
2.3 Собственные значения в окрестности отрезка [—1, — ^-]
2.4 Функция распределения собственных значений
3 Спектр задачи Орра-Зоммерфельда с линейным профилем
3.1 Решение уравнения Орра-Зоммерфельда
3.2 Собственные значения в окрестности отрезка [—1, — ^=]
3.3 Собственные значения на луче [-£.-■«>)
Литература

Введение
Многие задачи математической физики в ходе своего решения приводят к краевым задачам вида
Здесь Л — спектральный параметр, а краевые условия могут варьироваться в зависимости от конкретной задачи. В простейшей ситуации весовая функция г (ж) положительна или даже равна 1, и тогда мы приходим к обычной спектральной задаче Штурма-Лиувилля. Однако во многих прикладных областях, например, в квантовой механике, возникает необходимость в рассмотрении весовых функций, изменяющих знак на отрезке [а, Ь]. При этом свойства спектра этой задачи во многом сохраняются. Спектр по-прежнему состоит из бесконечного числа собственных значений, не имеющих конечных точек накопления. Особенностью индефинитной задачи является возможное присутствие невещественных собственных значений, однако их количество всегда конечно. Впервые это было замечено еще в работах Ричардсона [52], [53]. Детальное описание невещественной части спектра можно найти в работе Мингарелли [47].
Перечисленные авторы использовали классические методы анализа и. разумеется, делали предположения о гладкости коэффициентов. Однако более эффективным при исследовании спектра таких задач оказывается абстрактный операторный подход. Задача может быть сведена к изучению линейного операторного пучка типа Ъи — АВн, где Ь в данном случае — дифференциальный оператор Штурма-Лиувилля, а В — оператор домножения на функцию. Тогда свойства спектра данной задачи выводятся из общих свойств 3 -диссипативных операторов в пространствах Крейна. Этот подход был развит в работах Пяткова [16]—[21], где также изучались свойства собственных функций, в частности, вопрос о базисности по Риссу.
Естественным образом возникает вопрос об асимптотическом поведении спектра на бесконечности. Формулы для главного члена асимптотики собственных значений этой и более общих задач с положительным весом были известны давно (см., например, обзорную статью [2] и имеющуюся там биб-
у" + Ч{х)у = Хг(х)у, а ^ х 4 Ь; у (а) сов а — у'(а) эт о; = О, у(Ь) сов/З + у'[Ь) зт (3 = 0.

Введение

лиографию):
В индефинитном случае, т. е. когда

/^*> О, где г± = тах{±г, 0}

задача имеет положительную и отрицательную серии собственных значений, асимптотка каждой из которых дается похожей формулой:
В наиболее общей формулировке (в предположении интегрируемости коэффициентов) эта формула доказана в работе Аткинсона и Мингарелли [31].
Для исследования асимптотики спектра в задачах подобного рода используются различные методы. В многомерных задачах обычно применяется какой-либо вариант вариационного или тауберова метода. Вариационная методика восходит к классическим работам Вейля [58], [59], а также Куранта и других. Среди его преимуществ — малая чувствительность к гладкости данных задачи. Тауберова техника восходит к знаменитой работе Карлемана [36]. Эта техника основана на асимптотическом изучении ядра резольвенты (или иной подходящей функции рассматриваемого оператора) с последующим использованием тауберовых теорем. Важное преимущество тауберовых методов — применимость к несамосопряженным задачам.
Однако, как вариационные, так и тауберовы методы позволяют получить только первые члены в асимптотиках собственных значений. Более чувствительными оказываются асимптотические методы. Применительно к нашей задаче наиболее известным является так называемый метод фазовых интегралов или метод ВКБ. В общем случае он используется для исследования уравнений типа
и)" + h2q(z, Н)ги = 0,
где к — большой параметр. При некоторых условиях на с/ приближенные решения этого уравнения имеют вид
Глава 1. Индефинитная задача Штурма-Лиувилля

Мы по-прежнему предполагаем, что функции /(ж), д(х) вещественны и интегрируемы на [а, 5], а спектральный параметр /г > 0. Без ограничения общности мы будем также предполагать, что р = 0 не является собственным значением (этого всегда можно добиться сдвигом спектрального параметра). Зафиксируем нумерацию собственных значений следующим образом:
О < до < < № < • ■ ■
и займемся изучением соответствующих собственных функций:
у0{х), Уг(х), у2{х),
Обозначим у(х,р) — решение задачи Коши для уравнения (1.30) с начальными условиями
у(а,р) = 0, у'(а,р) = 1. (1.32)
Пусть
а — х$ < х < ... < ^ Ъ —
нули решения у(х,р) на отрезке [а, Ь]. Значение хк = хк(р) изменяется непрерывно относительно спектрального параметра /г. Нас будет интересовать скорость такого изменения. Величину ^ назовем скоростью нулевой точки решения.
Лемма 1.3. Скорость нулевой точки решения для уравнения (1.30) с начальным условием (1.32) вычисляется по формуле
= где *м = /№)»(*)’*•

Доказательство. Заметим, что
дхк _ 1 ду! ч
др ~ у'{хк)др{Хк^и
поэтому достаточно вычислить ^ . Сделаем замену