О когомологических свойствах гиперповерхностей в торических многообразиях

• Автор: Матеров, Евгений Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 91 с.

Оглавление
Введение
0. Торические многообразия и основные сведения о них
0.1. Определение симплициального торического
многообразия
0.2. Однородные координаты на дорических
многообразиях
1. Формула Ботта в дорических многообразиях и некоторые комбинаторные тождества
1.1. Формула Ботта в проективном
пространстве
1.2. Формула Ботта в дорическом многообразии.
Первая формулировка
1.3. Формула Ботта в дорическом многообразии.
Вторая формулировка
1.4. Сравнение различных формул Ботта и
некоторые комбинаторные тождества
1.5. Вычисление эйлеровой характеристики
пучков с логарифмическими полюсами
2. Полиномы Гильберта-Эрхарта
2.1. Полиномы Гильберта-Эрхарта
и двойственность Серра
2.2. Связь коэффициентов полинома 5р(и)
с индексами пересечений

3. Гиперповерхности общего положения и когомологическое
приведение дифференциальных форм
3.1. Гиперповерхности общего положения
в торической компактификации
3.2. Когомологическое приведение
(понижение порядка полюсов)
Заключение
Библиография

Введение
Проблемы, рассматриваемые в диссертации, лежат на стыке многомерного комплексного анализа, алгебраической геометрии и комбинаторики.
Вычисление интегралов от рациональных дифференциальных форм на комплексном многообразии X с полюсами на гиперповерхности И приводит к изучению групп когомологий дополнения ХВ. Интерпретация этих групп когомологий как групп когомологий де Рама позволяет свести топологическую задачу к алгебраической благодаря фундаментальному результату А. Гротенди-ка. А именно, его так называемая ’’алгебраическая теорема де Рама” (см. [26]) утверждает, что когомологии неособого аффинного алгебраического многообразия могут быть вычислены по комплексу де Рама рациональных дифференциальных форм. Задача описания групп когомологий де Рама, т.е. задача нахождения размерности и рационального базиса этой группы является весьма актуальной и сложной.
Другой класс задач, связанный с когомологиями гиперповерхностей, состоит в изучении структуры групп когомологий Чеха пучков рациональных дифференциальных форм на многообразии с полюсами на гиперповерхности (дивизоре).
При вычислении когомологий квазиаффинных многообразий и при изучении пучков рациональных дифференциальных форм на многообразии возникает необходимость переходить к различным компактификациям. В последние годы большую популярность в качестве компактифицирующих многообразий получили торические многообразия (см. [14, 6, 15]). Эти многообразия являются естественным обобщением как аффинного пространства С", так и проективного пространства Р". Понятие веера, кодирующего торическое многообразие, впервые появилось в работе М. Демазюра [22] при изучении действий алгебраических групп на рациональных многообразиях. Дальнейшее становление теории тори-ческих многообразий стимулировалось пионерскими работами А. Г. Хованского [13], В. И. Данилова [3], Д. Мамфорда и др. [36], Т. Ода [32] и другими. Торические многообразия составляют специальный класс: эти многообразия нормальны, они являются примерами многообразий Коэна-Маколея и все их особенности рациональны. Тем не менее, они являются хорошей ’’тестовой площадкой” для многих общих теорий.

Основной результат этого параграфа состоит в следующем утверждении.
Теорема 1.20. Обобщённая формула Ботта (I) Пусть X - полное симпли-циалъное торическое многообразие, Б - дивизор Картье на X и Р - опорный многогранником для пучка Ох{Е>)- Тогда имеют место формулы:

/і9(X, Прх) = <
2) Если Ох (К)) обилен, то
Ь?{Х, &х{р))
В-ч-Сіі) 1ВД|'
О, уф р.

у > 0.
Доказательство. Утверждение 1) доказано в теореме 3.11 книги [34].
Обозначим для краткости Ь — 0Х(0). Докажем утверждение 2). Равенство №{Х, ®ох Ь) = 0 для у > 0 следует из теоремы 1.16.
Пусть д = 0. Заметим, что поскольку пучок Ь локально свободен, последо-
вательность (1.1) остаётся точной после тензорного умножения на Ь (см. [11], Глава III, Предложение 9.2, (е)). Таким образом, точна последовательность
0 ЯРХ ®ох Срх ®ох С*£ ®0х Ь-> ... -» С?/ 0. (1.2)
Из равенства (Х, £1РХ ®ох Ь) = 0 для д > 0, отмеченного выше, следует формула
х(Х, Прх Ь) = Н°(Х, прх ®ох Ь)
для эйлеровой характеристики пучка &,рх ®ох С другой стороны, по теореме
1.19 последовательность (1.2) даёт равенство
Х(Х, Прх ь) = £(-1 )*х(Х, С™ 0ОА. Ь).