Модули гладкости произвольных порядков и преобразованные ряды Фурье

• Автор: Тихонов, Сергей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 112 с.

Содержание
Введение
Основные определения и обозначения
1 Свойства модулей гладкости дробного порядка
1.1 Свойства дробных разностей и модулей гладкости
1.2 Порядок убывания модулей гладкости в Ьр, 1 < р < оо
2 Оценки модулей гладкости преобразованных рядов Фурье .
2.1 Преобразование ряда Фурье с помощью последовательностей
Ап = пг((п)иАп = »г/((п)
2.2 Преобразование ряда Фурье с помощью последовательности
= <Р (п)
3 Характеристики функций из класса Бесова-Никольского
3.1 Вспомогательные утверждения
3.2 Конструктивные характеристики функций из класса Бесова-
Никольского
3.3 Коэффициенты Фурье функций из класса Бесова-Никольского
3.4 Теоремы вложения и совпадения классов
4 Коэффициенты Фурье непрерывных функций из некоторых классов
4.1 Эквивалентность некоторых условий
4.2 Необходимые и достаточные условия принадлежности непрерывных функций классу Вейля-Никольского
4.3 Необходимые и достаточные условия принадлежности функции обобщенному классу Липшица
Приложение
Список литературы

Введение
В начале прошлого века, после доказательства теоремы Вейерштрасса о существовании последовательности многочленов, приближающих непрерывную функцию на данном отрезке со сколь угодно большой точностью, теория наилучших приближений непрерывных функций получила большое развитие. Основополагающие результаты в этой теории были получены Ш. Валле-Пуссеном ([64],[65]), А. Лебегом ([47]), Д. Джексоном ([45], [46]), С.Н. Бернштейном ([5]). В этих работах сформировалось понятие модуля непрерывности данной функции.
При исследовании связи между величиной наилучшего приближения непрерывной функции тригонометрическими полиномами и дифференциальными свойствами функции С.Н. Бернштейн ([5]) ввел понятие модуля непрерывности натурального порядка (модуля гладкости). В дальнейшем, это понятие приобрело большую популярность и в настоящее время является одним из наиболее распространенных понятий теории функций.
При решении некоторых задач теории приближений классический модуль гладкости (модуль гладкости натурального порядка) или не может быть использован, или его применение достаточно трудоемко, (см., например, [31],[43]). Возникла необходимость рассмотрения модуля гладкости любого положительного порядка.
В 1977 году Р. Таберский ([63]) и группа авторов П. Бутцер, X. Дик-хоф, Е. Герлих, Р. Стейне ([43]) независимо ввели понятие модуля гладкости произвольного положительного порядка.1 В этих работах исследовались основные свойства таких модулей гладкости и доказывались прямые и обратные теоремы теории приближения.
Задача описания порядка убывания модулей непрерывности и модулей гладкости натурального порядка исследовалась разными авторами, в частности, С.М. Никольским ([20]), О.В. Бесовым и С.Б.Стечкиным ([8]), В.Э. Гейтом ([9], [10]), В.И. Колядой ([16]), И.А. Шевчуком ([39]), Т.В. Радосла-вовой ([62]).
В §1 работы исследуется порядок убывания к нулю модулей гладкости произвольного положительного порядка периодических функций, принадлежащих пространству Ьр, 1 < р < оо. В частности, доказано, что возможный порядок убывания модулей гладкости не зависит от р. Основными результатами первого параграфа диссертации являются следующие теоремы.
1Все необходимые обозначения и определения приведены ниже в пункте ’’Основные определения и обозначения”.
ВВЕДЕНИЕ

Теорема 1.1. Пусть / Е Lp, р Е [1, сю], /3 > 0. Тогда существует функция ip(t) £ Фд, такая что
< Up(f,t)p < C{P)tp(t) (0 < t < oo),
где С{(3) — положительная постоянная, зависящая только от (3.
Таким образом, каждый модуль гладкости положительного порядка (3 эквивалентен, в смысле порядка убывания, некоторой функии Теорема 1.2. Пусть 0, р Е [1, сю]. Тогда существуют функция f Е Lp и число t > 0, такие, что
Ci{(3)u)p(f,t)p < p{t) < C2(f3)oJp(f,t)p (0 < t < ti),
где Ci(/3), Сг(/3) — положительные постоянные, зависящие только от р.
Отметим, что для Р Е N теоремы 1.1 и 1.2 доказаны в работе [62].
Уже в работах математиков, стоявших у истоков теории приближения функций (см. упоминавшиеся выше работы [5], [45], [46], [47], [64], [65]) было выяснено, что изучение дифференциальных свойств функций играет важнейшую роль в вопросах приближения. С.Н.Бернштейн ([5]) писал: ’’Чем проще дифференциальная природа функции, тем быстрее убывает Еп, и обратно”. В связи с этим, многими авторами решалась следующая задача: получить оценки структурных (конструктивных) характеристик производных через структурные (конструктивные) характеристики самих функций. Изучением оценок такого рода занимались, в частности,
С.Н. Бернштейн ([5]), Н.К. Бари и С.Б. Стечкин ([3]), О.В. Бесов([7]).
Естественным обобщением понятия производной натурального порядка для 27г-периодических функций является понятие производной в смысле Вейля (производной дробного порядка). Заметим, что ряд Фурье производной 27г-периодической функции можно рассматривать как преобразованный ряд, т.е. ряд, полученный следующим образом: каждый член ряда Фурье самой функции умножается на некоторое число. Умножая члены ряда Фурье данной функции на элементы различных последовательностей, будем получать различные, так называемые, обобщенные производные в смысле Вейля. Таким образом, возникает задача изучения свойств этих производных.
В частности, возникает следующая задача: найти оценки модуля гладкости функций с преобразованным рядом Фурье (шррр, 5)р) через модуль гладкости исходной функции (о;т(/, 5)р). В §2 диссертации данная задача рассматривается для модулей гладкости произвольных положительных порядков и функций, принадлежащих пространству Lp, 1 < р < оо.
§2. ОЦЕНКИ МОДУЛЕЙ ГЛАДКОСТИ
2-гг / »

< 2~п/зв1в(2п) ( J (^2 2^+Г)д2+Л с!х < 2“П/3У(2П) ■

2МР+Г) д

^Л2П(±
г V ) Р
) ) Дж
7 ^
72(2») ' к ^ пЧ2т)
4 т=1У— 1 ' 4
< 2~п/3в 11 /у^22^+г)Д2+172(2^1) Лж| +2-"^У(2п)-
I г/=

п г/=0 т=у—
£^1/(2га)

Д21 + ^
Оценим /22- Применим обобщенное неравенство Минковского (см. Леммы П.16, П.17)
Л22 « 2-”^7е(2п) <

п / /771+
/ £^<Е22^+^
I т=0 ^ ' г/=

По Леммам П.22, П.

Дж > <
г Р
л ^ 2т+
Л «2^11 Ес,+гттМ11?+2-”')У(2") Е+п» Е ^УеМУ)
4=1 т=0 ^ ' 4=
Таким образом, используя Лемму П.З(а) и свойства модулей гладкости
1 п от/30 -I
Л « ^(*>. *г), + 2-*/(2“) Е У
т=0 ' '
Далее оценим «/3. Повторяя рассуждения, которые использовались при оценке Лх, получим цепочку неравенств

/з « ( е Е гчмн;) «
=п 4=2п+