Новые теоремы единственности для степенных рядов

• Автор: Чириков, Антон Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 67 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава

§1. Характеристика Т (г,

§2. Функция ?/>()

§3. Формулировка теоремы и ее доказательство

Глава II

§0. Введение и формулировка результата

§1. Начало доказательства

§2. Окончание доказательства

Список литературы
Введение
Актуальность темы. Связь между поведением коэффициентов Тейлора аналитической в единичном круге Г) функции и её убыванием на радиусе является одним из существенных вопросов теории аналитических функций. Например, если речь идёт о возможной максимальной скорости убывания на [0,1] аналитической в Б функции с редкими коэффициентами, то начало этих исследований было положено в работе Л. Шварца 1943 г. [1 ]. Дальнейшее развитие относится к работам И. Хиршмана и Дж. Дженкинса [2] и Дж.М. Андерсона 1976 года [3]. В работах Л. Шварца и И. Хиршмана и Дж.Дженкинса рассматривались не степенные ряды, а ряды из экспонент с естественным обобщением убывания по радиусу, а в работе Дж. М. Андерсона изучались лакунарные по Адамару степенные ряды и выяснялась возможная скорость их убывания на радиусе (0,1).
Утверждения Л. Шварца, И.-Хиршмана - Дж. Дженкинса имеют вид теорем единственности для рядов из экспонент: если количество показателей с ненулевыми коэффициентами на промежутке [0, А] растёт медленнее А, то сумма соответствующего ряда при х —* +0 не может иметь быстроубывающую мажоранту. Возможный порядок убывания (точнее, порядок убывания логарифма мажоранты) указывается в этих работах точно. Работа Дж.М.
Андерсона посвящена ситуации, при которой количество показателей с ненулевыми показателями растёт не быстрее С log А; получающийся результат опять имеет вид теоремы единственности. Возможная минимальная мажоранта имеет в таком случае меньший порядок убывания, чем в теоремах JI. Шварца и И. Хир-шмана - Дж. Дженкинса, в которых логарифм мажоранты имеет степенной характер роста при х —> +0. Опыт применения различных теорем единственности в анализе показывает, что, чем точнее теорема единственности, тем более сильные применения она может находить. В связи с упоминаемыми результатами Л. Шварца, И. Хиршмана - Дж. Дженкинса было принципиально важно, возможно ли указать минимальную мажоранту ряда из редких экспонент (или степенного ряда с редкими показателями) более точно, чем только указание порядка роста логарифма этой мажоранты.
Действительно, H.A. Широкову [4], гл. 3, удалось уточнить формулировку указанной теоремы единственности. Если Пк > Акр , то при р > 2 для степенного ряда

f(x) = ^ акХПкі f Ф 0, (+)

в [4] была получена оценка логарифма мажоранты с точностью до наилучшей постоянной. Наилучшая мажоранта логарифма модуля (иными словами, самая точная теорема единственности) при
§3. Формулировка теоремы и ее доказательство Сформулируем теперь основной результат первой главы. Теорема
Приступим к доказательству теоремы 1. Нам потребуется выяснить, как возможная скорость убывания функции скажется на скорости убывания её преобразования Лапласа на соответствующем луче. Используем при действиях с асимптотикой метод Лапласа.
Лемма

Пусть функция ф(х) = / ф 0 и последовательность

{пк} удовлетворяют соотношениям
Щ > Л0(к + 2)рlog(к + 2)6,
|/(ж)| < С'е~с^-хГ3^^)Ь<х<1.
Тогда
Пусть и{х) ~ а