О вложениях классов функций Н w в классы функций ограниченной обобщенной вариации и некоторые вопросы теории аппроксимации функций

• Автор: Медведева, Мария Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 с.

Оглавление
Введение
1. Условия вложений классов функций Нш в классы функций ограниченной обобщенной вариации. Случай произвольного класса Нш
1.1. Вложения классов функций Нш в классы функций ограниченной Ф-вариации
1.2. Вложения классов функций Нш в классы функций ограниченной Л-вариации
2. Условия вложений классов функций Нш в классы функций ограниченной Л-вариации при дополнительных ограничениях на модуль непрерывности
2.1. Предварительные теоремы, упрощающие переход от общего
к частным случаям
2.2. Случай классов Ни, близких к классам Липшица Lip а,
О < п <
2.3. Предельный случай при а —» 0. Классы Hw, содержащие объединение всех классов Липшица
2.4. Случай классов Нш, промежуточных между Lipl и всеми классами Lip а, 0 < а <
3. Приближение непрерывных на отрезке функций суперпозициями сигмоидальной функции
3.1. Оценка приближения функции

3.2. Отсутствие характеристики структурных свойств функции на основании поведения ее приближения суперпозициями сигмоидальной функции
Литература

Введение
Диссертация посвящена изучению условий вложения классов функций Нш в классы функций ограниченной обобщенной вариации, а также некоторым вопросам приближения непрерывной на отрезке функции суперпозициями сигмоидальной функции.
В теории функций действительного переменного встречаются различные обобщения понятия вариации функции. В настоящей диссертации рассматриваются такие обобщения вариации, которые появились в работах, где обобщалась теорема Жордана о сходимости тригонометрического ряда Фурье [1, стр.121]. Различные обобщения этой теоремы на классы функций ограниченной Ф-вариации получали Н.Винер [20], Дж.Марцин-кевич [17], Л.Юнг, который ввел общее определение Ф-вариацни [21], Р.Салем [18]. Обобщения теоремы Жордана также получали А.Гарсиа и С.Сойер [14] в терминах условия на индикатрису Банаха. Функции ограниченной А-вариации впервые были рассмотрены Д.Ватерманом в работе [19], где было получено для них обобщение теоремы Жордана о сходимости тригонометрического ряда Фурье. В дальнейшем исследовались и другие свойства функций ограниченной А-вариации.
Дадим некоторые определения.
Пусть функция Ф, определенная на [0, оо), непрерывна, строго возрастает и Ф(0) = 0. Будем говорить, что функция / : [а, Ь] -> М является функцией с ограниченной Ф-вариацией (/ € ФВУ), если

зирУ'ФА/Ы - /(**_ 1)1) < оо,
где супремум берется по всем разбиениям О = {щ.} отрезка [а, 6], а = £о < < = Ь.
Пусть А = — монотонная последовательность положительных

рованном с выберем точки t, ££

Лс (-LC с
ЕЕ-«**
1с= 1 *
Следовательно, для всякого положительного с имеет место неравенство sup > —-— > с и, значит, sup >
со Хк ~ СО *—' Л/,
Е **<2 fc=1 Е **<зfc
fc=l

По лемме 1 получаем sup У
w(fjfc)
= оо.

Е П<1 *

По теореме 2 в этом случае вложение Нш С ЛВС не имеет места. Противоречие. Теорема доказана.
Сопроводим доказанную теорему 3 примером. Этот пример показывает, что возмоясен случай, когда для любого наперед заданного числа
V~ Ct/(i(cÄjt))
с0 > 0 ряд у расходится при 0 < с < со и сходится при с > с0.
z—4 Ат
к=1 *
Пример. Пусть u(t) = £(1 — lnt), А = — произвольная после-
довательность, задающая некоторый класс ABV.
Тогда ui(t) — вогнутый модуль непрерывности на [0,1], причем
г Ч*)
lim = оо.
t—>о t
Для с > 0 при больших к найдем t(cXk) из равенства u>'(t(cXk)) = сА&,
то есть — lni(cAfc) = сЛд.. Получим t(cXk) = е~сА*.
w(t(cA*)) e“cAfc(l 4-cAjfc) _cAt
Далее, ——
Afc Afc
тельностей и выраясение Ofc ~ 6*. при к оо означает, что
lim — = 1).
к—Юо
По теореме 3 получим, что Нш С ЛВС тогда и только тогда, когда

при некотором С > О СХОДИТСЯ ряд е~сХк.

Зададим теперь для фиксированного с0 > 0 последовательность {А*,}
так, чтобы Xi = Л2 и е к = А,с° при к > 2. Тогда А* = —In /г при к > 2 и

Ai = Л2. Значит, {Afc}£°=1 — монотонная последовательность положитель-