След и представления элементов С*-алгебр комбинациями специального вида

• Автор: Бикчентаев, Айрат Мидхатович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 254 с.

Оглавление
Обозначения
Введение

0.1 Актуальность, проблематика и цели работы

0.2 Содержание диссертации

0.3 Основные результаты, полученные в диссертации

0.4 Апробация работы

1 Представления элементов С*-алгебр комбинациями специального вида

1.1 Определения, обозначения и предварительные сведения .

1.2 О представлении элементов алгебры фон Неймана в виде конечных сумм произведений проекторов
1.3 Представление косоэрмитовых элементов алгебры фон Неймана в виде конечных сумм коммутаторов проекторов
1.4 Представления коммутаторами проекторов: конечномерный случай
1.5 Проекторно-выпуклые комбинации в С*-алгебрах со свойством унитарной факторизации
1.6 Проекторно-выпуклые комбинации в С*-алгебрах и проблема инвариантного подпространства
2 Перестановочность проекторов и характеризация следов на С*-алгебрах
2.1 Новые признаки коммутирования проекторов
2.2 Характеризация следа на алгебре фон Неймана

2.3 Характеризации следов неравенствами Пайерлса-Боголюбова
и Араки-Либа-Тирринга
2.4 Характеризации следов неравенством Юнга
и неравенствами монотонности для степенных
функций
2.5 О проблеме У. Хаагерупа о субаддитивных весах на W*-
алгебрах
3 Интегрирование относительно следа и топология сходимости по мере на полуконечной алгебре фон Неймана
3.1 Об одном свойстве некоммутативных Lp-пространств
3.2 След и слабая мажоризация на полуконечных алгебрах
фон Неймана
3.3 Об одной лемме Ф. А. Березина
3.4 О минимальности топологии сходимости по мере на конечных алгебрах фон Неймана
3.5 Непрерывность умножения для двух топологий, ассоции-
рованных с полуконечным следом на алгебре фон Неймана
3.6 Свойства топологий Сі и локальной сходимости по мере
3.7 Характеризации конечных, счетноразложимых, непрерывных, атомических и конечномерных алгебр фон Неймана
3.8 Мажорируемая сходимость по мере на полуконечных алгебрах фон Неймана и свойство Банаха-Сакса
Список публикаций автора по теме диссертации и литература

Обозначения
Л - замыкание множества Л;
Linjj> Л - вещественная линейная оболочка множества Л;
Ті - гильбертово пространство;
{£,77) - скалярное произведение векторов £, г) из Ті]
I - тождественный оператор в пространстве Ті;
ВІГІ) - алгебра всех ограниченных операторов в Ті;
К,{Ті) - идеал всех компактных операторов в ВІТІ); tr - канонический след на B{Ti)
- последовательность s-чисел оператора X Є В{Ті)
&р (1 < Р < со) - идеал Шэттена-фон Неймана в В (Ті)] сг{Х) - спектр оператора X € В{Ті)
X о Y - йорданово произведение операторов X, Y Є В(Ті);
[X, У] - коммутатор (лиево произведение) X,Y Є В(Ті)
Ran (Л) - множество значений оператора Л;
Кег (Л) - нулевое подпространство (ядро) оператора Л;
Лпог - множество нормальных элементов С*-алгебры Л;
Л5а - множество эрмитовых элементов С*-алгебрьт Л;
Л81' ~ множество косоэрмитовых элементов С*-алгебры Л;
Л+ - конус положительных элементов (7*-алгебры Л;
Лрг - множество проекторов С'-алгебры Л;
Л1СІ - множество идемпотентов С*-алгебры Л;
Л1с1+рг - множество всех неупорядоченных пар из Л1(і, один из элементов которых является проектором;

АЛ отсутствует или представима в виде МПі(Л/ї) ф ■ • • ® МП(фЛ4), где Afm - некоторые алгебры фон Неймана H2 Фактор явлется алгеброй одного из типов I, П1( 11^ или III.
Если АЛ - алгебра фон Неймана типа I, то существует единственное (проиндексированное кардинальными числами) ортогональное семейство {Zaj С 2{М)рг с ^2aZa = I, такое, что A4za изоморфно тензорному произведению абелевой алгебры фон Неймана Ащ) и В{На) с dim На = (У-. Следовательно, АЛ ~ Y^t^a)®B{Ha)■ Если АЛ конечна, то каждое а конечно [159, с. 296-297].
Лемма 1.1.1 [145, теорема 2.3.3]. Пусть алгебра фон Неймана Af имеет тип п (п - кардинальное число). Тогда Af * -изоморфна тензорному произведению Z(Af)B(IC), где К, - гильбертово пространство с dim К, — п.
Лемма 1.1.2 [50, следствие 3.3]. Для каждого X Є Mn(C(fi))sa существует такой U Є Mn(C(fI))u, что матрица U*XU (и) диаго-налъна для всех и Є П.
Если проекторы Р, Q из С-алгебры А ортогональны и Р Q, то С-алгебра (Р + Q)A(P + Q) ~ М2(РДР) [31, предложение 5.3.1] . В частности, если алгебра фон Неймана АЛ не имеет прямых слагаемых конечного типа I и Р Є Л4рг, Р ~ Р1, то АЛ ~ М2(.Л4р).
Пусть Af - алгебра фон Неймана с единицей 1^, <5єСс|<5| = 1и функция g{t) = /t(l — t) для 0 < t < 1. Определим проектор R^ в М2(Л0. положив
м) = ( A'1" V плі)
V Sg(t) ■ і# (і -1) • 1W /
Отображение 7г: АЛ —» Af называется *-гомоморфизмом из АЛ в Af, если для всех А, В Є АЛ и всех А, р, Є С выполнено:
7г(ЛЛ + рВ) = Л7г(Л) + Ц7Г (В),