О некоторых нетрадиционных методах приближения, связанных с комплексными полиномами

• Автор: Косухин, Олег Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 80 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ1

Глава I. Об аппроксимационных свойствах

наипростейших дробей

§1. О приближении наипростейшими дробями

на компактах

§2. О приближении наипростейшими дробями

на неограниченных кривых

§3. О наипростейших дробях Паде

Глава II. О скорости приближения замкнутых

жордановых кривых лемнискатами

§1.0 приближении жордановых кривых общего вида

§2. О приближении гладких жордановых кривых
§3. Об оценках снизу для величин
наименьших уклонений
Глава III. Об оценках производных от
рациональных функций на компакте
§1. Об условиях существования оценок типа
Маркова-Бернштейна почти всюду на компакте
§2. Влияние малых изменений компакта
на исключительное множество
Список литературы
1 Работа поддержана грантом 05-01-00962 РФФИ и грантом Государственной поддержки г.едущих научных школ НШ-1892.2003.1.

Во многих разделах математики важную роль играют задачи об аппроксимации более сложных объектов менее сложными. Для решения таких задач часто оказывается необходимым знание методов и результатов теории приближений, центральное место в которой занимают теории приближения функций посредством алгебраических и тригонометрических полиномов, рациональных дробей (соответственно полиномиальная и рациональная теория приближений). Бурное развитие математики в XX веке привело к возникновению новых задач, для решения которых оказалось необходимым изучение новых нетрадиционных методов приближения функций и множеств. Настоящая работа посвящена исследованию некоторых из этих методов, связанных с комплексными полиномами: приближению функций посредством наипростейших дробей и приближению жорда-новых кривых посредством лемнискат в хаусдорфовой метрике.
Основные результаты диссертации опубликованы в трех статьях [25-27]. Работа [26] написана в соавторстве с П.А.Бородиным. Доказательство теоремы 1 этой работы (в диссертации это теорема 1.4) получено ее авторами независимо друг от друга, теорема 2 этой работы (теорема 1.5 диссертации) принадлежит О.Н.Косухину. Остальные основные результаты диссертации получены и опубликованы ее автором без соавторства. Основные результаты диссертации также опубликованы в Трудах математического центра имени Н.И. Лобачевского (см. [28-30]).
Работа состоит из оглавления, введения, трех глав и списка цитированной литературы из 30 названий. В первой главе рассматриваются рациональные функции вида Яп(г) = Х^=11/(г ~ а1)> гДе аз (полюсы функции Д,г(^)) — некоторые точки комплексной плоскости С — не обязательно различные. По предложению Е.П. Долженко такая функция названа наипростейшей дробью, число п — ее порядком. Класс всех наипростейших дробей порядка не выше п обозначим 5ЛП. Очевидно, Яп(г) = (1оё Р(г))' = Р'(г)/Р(г), где Р(г) = С(г — аД ... (г — а„) — полином сте-

пени п {С = const Ф 0). Поэтому наипростейшую дробь также называют логарифмической производной многочлена.
Внимание к логарифмическим производным многочленов было обращено работами А.Дж.Макинтайра и У.Х.Дж.Фукса (1940 г.), A.A.Гончара (1955 г.) и Е.П.Долженко (1960 г.), посвященными рациональным аппроксимациям и решению некоторых экстремальных задач. Это направление исследований продолжает развиваться и внастоящее время.
Логарифмические производные многочленов имеют и простой физический смысл: Rn(z) представляет собой напряженность плоского электростатического поля в точке z, созданного положительными единичными зарядами, расположенными в точках aj — при этом, если в некоторой точке а находятся ровно к точек aj. то, соответственно, в этой точке расположен заряд величины к.
В работе [18] А.Дж.Макинтайру и У.Х.Дж.Фуксу, опираясь на известную лемму Картана, для любого натурального п удалось доказать ряд оценок сверху на максимум модуля логарифимической производной многочлена от 0 в плоскости С с выброшенным из нее набором из не более чем п "малых" в некотором смысле кругов. В частности, им удалось показать, что для любого набора комплексных чисел а, аг, ..., ап и любого е > 0 существует такой набор из не более чем п кругов {ГАД с радиусами г
ответственно, что Ylk rk < и

^ у — П
ДА 1 п.
< У2 т г < -(1 + 1о6 п)
г — аЛ е
з=1
для всех гб С I)кВк- Сами авторы предположили, что логарифм в пра

вой части неравенства
< —(1 + кщ п) может быть опущен, и
г-а,
даже доказали это утверждение в частном случае когда все {«Д лежат на одной прямой. Вопрос о справедливости этого утверждения в случае произвольного расположения {аД оставался открытым вплоть до недавнего времени. Его удалось решить в работе [1] Дж.М. Андерсону и В.Я. Эйдерману, показав, что в этом случае точной по порядку относительно п

известно, д(г,оо) = к^|^(.г)( =: д(г). Ниже ш(Р,Е5) := вирЦД^-г7) — Р(г") | : г', г" Е Е, г' — г" < <5} — модуль непрерывности функции
Р(г) на множестве Е С С (5 > 0). Если множество Е есть вся область определения функции ГДг), положим ш(Р;6) — и>(Р, Е;$).
§1. О приближении жордановых кривых общего вида.
Для любого числа А > 0 определим кривую Гд := {г : д(г) = А}. Оценим величину М„(Г) := т1{тах{д(,г) : 2 6 Ь(Рп,г)} : Рп, г}, где Рп и г пробегают те же множества, что и выше при определении Нц(Т).
Лемма 2.1. Для произвольной замкнутой э/сордановой кривой Г и любого натурального числа п выполнены неравенства
Нп{Г) < Цу>;ем"(Г> - 1), Мп(Г) < си(д;Нп(Г)). (2.1)
Доказательство. Пусть, как и ранее, многочлен Рп и число г > 0 таковы, что лемниската Ь(Рп, г) является замкнутой жордановой аналити-• ческой кривой, содержащей Г внутри себя. Для произвольных таких Рп и г
положим А = А(РП, г) := тах{<7(^) : г Е Ь(Рп,г)}. Тогда рц(Г, Ь(Рп, г)) < ря(Г, Гд) < тах{|<ДеА+10) — <р(егв) : в Е И} < иД<р еА — 1). Переходя теперь в этом неравенстве к инфимуму (сначала слева, а затем справа) по всем допустимым Рп и г, получаем первое из неравенств (2.1).
Очевидно, что д(г) < ш(д; р(г, Г)). Поэтому имеем тах{ Для кривой Г и любого натурального п введем в рассмотрение многочлены €}п(г) и Фп(г). Положим С/п(г) := с~п(г — а)(г — а2)... (г — ап), где с = с(Г) — гармоническая емкость кривой Г (см. [5], Гл. VII, §3), ак := <Дехр{(2£; -1- 1)7гг7п}). Через Ф„(г) обозначим многочлен Фабера п-ой степени, то есть такой полином, что ФДД — гр"(г) = 0(1/г) при 2 —» ос (см., например, [19], Т.II, Гл. 5, §4, п.4.5).