Неравенства для емкостей множеств и конденсаторов и некоторые их приложения в геометрической теории функций

• Автор: Прилепкина, Елена Гумаровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 90 с.

Введение
СОДЕРЖАНИЕ

Глава I. Неравенства для логарифмических емкостей плоских множеств
§1. Предварительные сведения
§2. Линейные радиальные преобразования
§3. Теоремы единственности
§4. Оценка емкости множества через меру проекции
этого множества на стороны угла
§5. Задача Фекете
§6 Теоремы покрытия для мероморфных
в круге функций
Глава II. Приведенные 2-модули пространственных коденсаторов
§1. Гармонический радиус области и 2-емкость конденсатора
§2. Приведенный модуль относительно совокупности точек
§3. Теоремы об экстремальном разбиении
§4. Диссимметризация семейств кривых
Глава III. Оценки конформной емкости пространственных конденсаторов
§1. Поляризация конденсатора
§2. Симметризация относительно гиперсферы
§3. Изопериметрические неравенства
§4. Теоремы искажения для квазирегулярных
отображений
Литература
Введение
Теория емкостей множеств и конденсаторов находит многочисленные приложения в различных областях математики. Наиболее изучены 2-емкость и конформная емкость пространственных конденсаторов и связанное с ними понятие модуля семейств кривых или поверхностей. Систематическому применению емкостей в теории квазирегулярных отображений посвящены работы Вяйсяля, Геринга, Б.В. Шабата, Ю.Г. Решетняка, С.К. Водопьянова, В.М. Гольдштейна, Рикмана, Мартио, Вуоринена и других математиков.
Значительное место в теории емкостей занимают оценки изопериметри-ческого характера. Одним из немногочисленных методов получения этих оценок является метод симметризации. Пионерские исследования симметризации были выполнены Штейнером, и, несколько позже, Харди, Литтлувудом, Полна и Сеге. Актуальность получения неравенств для емкостей множеств и конденсаторов заключается в их теоретических и практических приложениях в различных областях науки. Представления о современном развитии метода симметризации можно получить в обзорных статьях Кавохла, Таленти, В.И. Коляды, Берстайна, В.Н. Дубинина и других авторов. Развитие метода симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного связано также с именами Хеймана, Дженкинса, И.П. Митюка, Маркуса, Ахаронова, Кирвана, В.А. Шлыка, А.Ю. Солынина. Однако в этом направлении существует еще много нерешенных проблем. В связи с этим остается актуальным построение новых видов симметризационных преобразований.
С понятием емкости конденсатора тесно связано понятие приведенного модуля. Простейшие приведенные модули в пространстве рассматривались еще Гречем и Тейхмюллером. Интересные обобщения этого понятия даны в работах Альфорса, Бейрлинга, Дженкинса* И.П. Митюка, Б.Е. Левицкого, Г.В. Кузьминой, Е.Г. Емельянова, В.Н. Дубинина. Задачи определения верхней
грани сумм вида aiMi + a2-2 + -.. + anMn, где а. к— заданные положительные числа, а Mfc модули или приведенные модули попарно неналегающих областей называются задачами об экстремальном разбиении. Эти задачи восходят к известной теореме М.А. Лаврентьева о произведении конформных радиусов неналегающих областей и в плоском случае имеют богатую историю. Отметим исследования Г.М. Голузина, П.П Куфарева, H.A. Лебедева, Г.В. Кузьминой, Г.П. Бахтиной, Е.Г. Емельянова, А.Ю. Солынина, В.О. Кузнецова. В пространстве трех и более измерений к настоящему времени известен только аналог теоремы М.А. Лаврентьева, полученный Б.Е. Левицким.
Целью диссертационной работы является разработка методов решения задач об экстремальном разбиении в п-мерном евклидовом пространстве, п > 3, получение новых неравенств для логарифмической емкости плоских множеств, а также неравенств для конформной емкости пространственных конденсаторов
В первой главе диссертации рассматриваются задачи, ассоциированные с двумя классическими нижними оценками логарифмической емкости множества Е.
Если {J - конечная борелевская мера на комплексной плоскости Сг с компактным носителем, то ее энергия определяется как
Под логарифмической емкостью сар(Е) множества Е С Сг понимается
р на Е, для которых supp р С Е.
Пусть Q - выпуклое замкнутое множество, и пусть PqE - проекция множества Е на Q. Какова нижняя оценка сар(Е) через линейную меру пересечения PqE П dQl В случае, когда Q - полуплоскость, ответ вытекает из классического результата: логарифмическая емкость множества Е больше
sup где супремум берется по всем борелевским вероятностным мерам

Согласно теореме 1.15 первое равенство выполняется тогда и только тогда, когда Ед-= Е* и В, где В полярное множество и Е* состоит из п равных отрезков, выходящих из начала под углами — к = 1,2,
сар(Ед) = сар(Е*) = I/ д/4,
следовательно I = [А.. Таким образом, Ед с точностью до полярного множества состоит из п отрезков длины /4, выходящих из начала под углами —О к- Иными словами, функция Ї отображает круг и на плоскость С у, с разрезами по множеству В' и {гг : агдизп = 0п, |гг| > /1/4}, где В' полярное множество. Кроме того, из равенства сар(Ед) = 1 следует, что д(г) = 1//(г) однолистна. Поэтому ф(г) отображает круг II на односвязную область. Обозначим А = {гг : агдюп = Оп, |гг| > /1/4}. Зафиксируем х Є В' А. Так как /(11) односвязно, то найдется континуум из В', соединяющий х с А по множеству Си, А. Поскольку полярное множество не может содержать континуум, то В1 А = 0 и / однолистно отображает круг II на Су, А. Согласно теореме Римана для конформных отображений /(г) = г[1 + (е~гвг)п]~'2п. Теорема доказана.
Теорема 1.17. Если функция гг = мероморфна в круге II и /(0) = 0, /7(0) — 1, то для любого действительного числа в справедливо неравенство
S-e, f(U),0) + + к,/(и),0)}2+
+[5-1(9+ + 5Г»(в + у, НЮ, О)]2 < 16.
Знак равенства имеет место только для функций вида
хо = г[+ о(е-иг)2 + и) = г[1 + г(е~‘9г) + (е~‘9 г)2]-1,