Полиномиальное квантование на параэрмитовых симметрических пространствах

• Автор: Волотова, Надежда Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Тамбов
• Количество страниц: 129 с.

Оглавление

§0. Введение

Глава I.

Полиномиальное квантование на параэрмитовых симметрических пространствах

§1. Квантование по Березину

§2. Параэрмитовы симметрические пространства

§3. Максимально вырожденные представления

§4. Полиномиальное квантование на параэрмитовых симметрических пространствах

Глава II.

Полиномиальное квантование на однополостном гиперболоиде

§5. Группа 8Ь(2,И) и ее представления

§6. Тензорное произведение 7Г/ <£) 7Г/
§7. Однополостный гиперболоид
§8. Конечномерный анализ на однополостном гиперболоиде
§9. Полиномиальное квантование на однополостном гиперболоиде .
Глава III.
Полиномиальное квантование на параэрмитовых симметрических пространствах О/Н ранга один
§10. Группа 8Ь(л,И), ее подгруппы, разложения, алгебра Ли
§11. Максимально вырожденные серии представлений
§12. Гармонический анализ на многообразии Штифеля
§13. Представления компактная картина
§14. Представления Гсте: некомпактная картина
§15. Представления Тт
§16. Тензорное произведение П// ® тг^
§17. Формула Планшереля для п// (%) 7г£
§18. Пространство О/Н
§19. Я-инварианты
§20. Квазирегулярное представление в многочленах на О/Н
§21. Преобразование Пуассона
§22. Преобразование Фурье
§23. Сферические функции
§24. Конечномерный анализ на О/Н
§25. Полиномиальное квантование на О/Н
Литература

0. Введение
1. В настоящей работе мы рассматриваем некоторый вариант квантования в духе Ф.А. Березина на так называемых параэрмитовых симметрических пространствах первой категории О/Н (терминология взята из [26]). Эти пространства О/Н принадлежат к очень широкому классу полупростых симметрических пространств, кроме того, они являются симплектическими многообразиями. Среди симплектичес-ких полупростых симметрических пространств О/Н можно выделить четыре класса:
a) эрмитовы симметрические пространства;
b) полукэлеровы симметрические пространства;
c) параэрмитовы симметрические пространства первой категории;
с!) параэрмитовы симметрические пространства второй категории.
Для случая простой группы Ли О эти четыре класса дают классификацию (с локальной точки зрения).
Пространства из первого класса римановы, из остальных - псевдоримановы (не римановы). Римановой формой для последних являются пространства из первого класса.
Пространства из первых двух классов а) и Ь) обладают инвариантной комплексной структурой, инвариантная метрика дается эрмитовой дифференциальной формой, которая для класса а) положительно (отрицательно) определена (так что в этом случае мы можем записать пространство как О/К, где О - полупростая группа Ли с конечным центром, К - ее максимальная компактная подгруппа), а для класса Ь) не является знакоопределенной. Пространства из класса с) обладают двумя линейно независимыми инвариантными поляризациями, это означает, что в каждой точке касательное пространство распадается в прямую сумму двух лагран-жевых подпространств, причем каждое из них инвариантно относительно стационарной подгруппы данной точки. Это можно выразить таким образом, что пространство обладает инвариантной структурой над алгеброй ’’двойных чисел” (алгебра размерности 2 над К, состоящая из ’’чисел” г = х + гу, х, у £ К, г2 = 1). Наконец, пространства из класса с1) - это комплексификации пространств из класса а).
Предмет нашего рассмотрения - это пространства класса с). Их классификацию (с локальной точки зрения) см в [26]. В частности, пространства О/Н ранга 1 с точностью до накрытия исчерпываются пространствами, для которых О = 8Ь(п,К.),
Н = СБ (п — 1, К).
2. Напомним концепцию квантования, предложенную Березиным, см. [3], [4], [5]. Мы не будем излагать ее в полной общности, мы ограничимся упрощенной версией, несколько более подробно это изложено в § 1.
Пусть М - симплектическое многообразие. Тогда С°°(М) является алгеброй Ли относительно скобки Пуассона {Л, В}, А, В £ СС°(М).
Квантование в смысле Березина состоит из двух шагов.
Шаг первый: надо построить некоторую совокупность ассоциативных алгебр
А(Ь), содержащихся в С°°(М) и зависящих от параметра к > 0 (называемого постоянной Планка), умножение в А(к) обозначается *, оно тоже зависит от к. Эти алгебры должны удовлетворять некоторым условиям (см. §1), важнейшими из

которых являются два, см. (1.1), (1.2), вместе образующие так называемый принцип соответствия.
Шаг второй: надо построить представления А и-»- А алгебр Д(/г.) операторами в гильбертовом пространстве.
Березин исследовал случай, когда М есть эрмитово симметрическое пространство, т.е. пространство класса а). Пусть оно реализовано как ограниченная область в С". Исходным пунктом в конструкции Березина является так называемая переполненная система (система когерентных состояний) Ф(т,Ш), г, го Сш. Она представляет собой поляризацию ядра Бергмана в степени, зависящей от параметра /г. Искомые алгебры А{к) состоят из ковариантных символов А(г,г) операторов А, действующих в пространствах Фока Ть на М. Ковариантный символ определяется формулой
где оператор А действует на Ф(д,їїї) как на функцию от г. Березин рассматривал все ограниченные операторы в пространстве Фока. Оператор вполне определяется своим ковариантным символом. Умножение операторов порождает умножение * символов, последнее задается интегралом, содержащим так называемое ядро Березина. Интегральный оператор с этим ядром называется преобразованием Березина В, оно действует в функциях на М. Березин нашел выражение преобразования В через операторы Лапласа на М и нашел асимптотику Б при /і —► 0:
где Д - оператор Лапласа-Бельтрами на М. Это решает задачу построения квантования на М: алгебры *4(/г) состоят из ковариантных символов ограниченных операторов в Ти с умножением *, принцип соответствия вытекает из (0.2). Кроме того, Березин опеределяет контравариантные символы операторов: это операторы Теплица в пространстве Фока. Оказывается, что для данного оператора переход от его контравариантного символа к ковариантному символу дается преобразованием Березина.
3. В нашей работе мы рассматриваем квантование в духе Березина на пространствах С/II класса с). Мы следуем схеме из [29]. Условия, накладываемые на семейство алгебр А{1г), должны быть несколько видоизменены. Мы можем считать, что О/Н есть С-орбита в присоединенном представлении группы &', а также что О - простая группа Ли. Следовательно, С/Н есть многообразие, лежащее в алгебре Ли 0 группы Ст. В качестве переполненной системы мы берем ядро Ф(£,1)) = Фм,£(£,?/) оператора, сплетающего представления из максимально вырожденных серий 7Г“е и 7Г+£ представлений группы С. Здесь р 6 С, £ = 0,1. Векторы С и V пробегают соответственно //-инвариантные лагранжевы подпространства и 0+ в начальной точке х° = Не (е - единица группы О) пространства (3/#. Пары (£,т/) дают координаты на в/Я, за исключением многообразия меньшей размерности. Представления 7Г~£ п 7Г~[С действуют соответственно в некоторых пространствах функций <р(£) и Ф(г1). Аналогом пространства Фока служит пространство функций <р(^).
В качестве исходной алгебры операторов мы берем алгебру операторов В = 7г“.£(А'), где X принадлежит универсальной обертывающей алгебре Епу(д) алгебры

(0.1)
В ~ 1 + НА,
(0.2)

неподвижен относительно Я;:
ад* = ф. (6.4)
Поскольку сумма размерностей подпространств Ифт в точности равна размерности пространства IV/:
1 + 3 + 5 + ... + (41 + 1) = (21 + I)2, мы получаем разложения в прямую сумму:
№/ - Щ,о + У1Л + ... + Уц, (6.5)
и, соответственно,
Я| — ТГо + + ... + ТГ-2І-
Возьмем на IV< билинейную форму С,)і, которая есть ’’тензорный квадрат” формы

Ві, см. (5.24), а именно, на чистых тензорах положим

<2і(ір®г,А, <рі ®фі) = Ві(<р,Фі) Ві{ф,Ч>)

и распространим на все IV) по линейности. В силу инвариантности формы Ві относительно пары (тр, 7Г/) форма С)і инвариантна относительно Я;. На базисных одночленах в силу (5.24) имеем
ОКОЛОЛ = (- 1)г+‘р) . (6-5)
на остальных парах этих одночленов она равна нулю.
Подпространства И/)>т попарно ортогональны относительно С^і.
Определим отображение 1цт пространства У,„ (см. §5) на подпространство Щ,т С IVі, которое переводит стандартный базис V в Ут в стандартный базис ТУ2'“
т ют/2,г в Иф,п (?■ = 0,1, ... ,2т). Оно является эквивалентностью представлений
7гт в этих пространствах. Билинейная форма Вт на Ут (см. (5.23)) при этом
перейдет в билинейную форму Тдт: если /,■ = і = 1,2, то
ЛЛ/ъЛ) = Вт(ірі,<р2). (6.6)
В силу неприводимости пространства ]Уі},п эта форма только множителем отличается от ограничения С^і на Ифт:
(^1 - А(/,т) Я/,т наИ7^. (6.7)
Из попарной ортогональности Ифт вытекает следующий аналог формулы Плашпе-реля для представления Я;.
Теорема 6.1. Пусть многочлен / из IV; разложен по своим проекциям в Ифт;

/ = Е /-

Тогда

Яі(/>/)= Е Ь|,т(/т,/т).