Критерии равномерной приближаемости в классах гармонических и полианалитических функций

• Автор: Мазалов, Максим Яковлевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 216 с.

Содержание
Введение
Обзор результатов диссертации
Глава 1. Равномерные приближения полианалитическими функциями на произвольных компактах в С
1.1. Схема приближений А. Г. Витушкина (упрощенный вариант)
1.2. Теорема о приближении функции по частям
1.3. Равномерные приближения бианалитическими функциями на произвольных компактах в С
1.4. Обобщение: эллиптические уравнения в С с локально ограниченными фундаментальными решениями
1.5. Равномерное приближение бианалитическими функциями: группировка индексов
Глава 2. О граничных значениях полианалитических функций
2.1. Граничные значения полианалитических функций на Дини-глад-
ких кривых

2.2. Пример д -регулярной липшицевой области: вспомогательные
функции

2.3. Построение д -регулярной липшицевой области
Глава 3. Равномерные приближения гармоническими функциями на компактах в М3
3.1. Емкость. Необходимое условие равномерной приближаемое™.
Его недостаточность для уравнений порядка выше двух
3.2. Связь между критериями равномерной приближаемое™

3.3. Применение теоремы о приближении функции по частям. Некоторые оценки
3.4. Конструкция: упрощенный вариант
3.5. Конструкция: общий случай
Глава 4. Приближение гармоническими функциями в пространствах Липшица
4.1. Пространства Липшица С7, 0 < у < 1. Формулировка результатов
4.2. Некоторые оценки и следствия теоремы Фростмана
4.3. Конструкция
Список литературы
Введение
Актуальность темы.
В работе изучаются равномерные приближения в классах гармонических и полианалитических функций на компактах евклидова пространства Мй, 2. Начнем с постановки основных задач. Далее Ь — дифференциальный оператор в Мй с постоянными комплексными коэффициентами, символ которого — однородный эллиптический многочлен. Примеры таких операторов — А" и д , где га 6 М, А — оператор Лапласа в д — оператор Коши-Римана. на комплексной плоскости С. Напомним (например, [1]), что полианалитическими функциями порядка га (кратко — га-аналитическими, при п — 2 — бианалитическими) называются решения уравнения $"/ = 0 на открытых подмножествах С.
Пусть X — компакт в Х° — множество всех внутренних точек X, С(Х) — пространство непрерывных функций на А с равномерной нормой; к{Х,Ь) — класс функций / Е С(Х), таких, что А/ — 0 в Х°; Н(Х,Ь) — замыкание в С(Х) множества функций А, каждая из которых удовлетворяет уравнению ЬР = 0 в (своей) окрестности X. Ясно (в силу эллиптичности оператора Ь), что Н(Х,Ь) С Ь(Х,Ь). Естественно возникают следующие две задачи (первая из них более общая).
Задача А1 (о приближении индивидуальных функций). Для заданных компакта X и оператора Ь найти все функции из Н(Х, V).
Задача А2 (о равенстве классов функций). Для заданного оператора Ь найти все компакты X, такие, что Н(Х,Ь) = Ь(Х,Ь).
Для аналитических функций (А = д) классические результаты о равномерных приближениях были получены М. А. Лаврентьевым [53], М. В. Келдышем [16], С. Н. Мергеляном [23] (см., например, обзор [22]), а полное решение задач А1 и А2 было получено в 60-е годы прошлого века А. Г. Витушкиным.

Так как функции даЕ5 локально интегрируемы при |а| < п, то, равномерно приближая на С) непрерывную функцию / функциями / из Со°(Мс!), получим, что У£/ также непрерывна в К0*.
Для оценки У£ф(х) АШ;{8) при х е В(а, 2А$5) достаточно показать,

|дуЕу - х)др<р(у)йту А2, (1.1.11)
Я(а,б)
где |а| < п, |а| + |/?| = п. Но после линейной замены переменных, переводящей С)(а,д) в <3(0,1) (где учитываются (1.1.8), однородность Ео(х) и Е1(х) в степени п — д и ср Е С(£п((3(а,6))), оценка (1.1.11) вытекает из следующей, очевидной:

г1бВ(0,2Ло),|а|<п
<2(0,1)
д(Е(Ь — г;)|й?тц А%.
Лемма 1.2 доказана.
Полезно выделить следующий частный случай леммы 1.2.
Лемма 1.3. Пусть куб ()(а, 6), функции / и те же, что и в лемме 1.2, 1ф/ — функция из (1.1.4), где для Е из (1.1.1) выполнено условие п < б или п = б, но Е = 0. Тогда:
(1) функция Тф/ непрерывна в
(2) Ь(Уфф) — 0 всюду вне компакта Эр П ЭрЬЬф;
(3) выполнена оценка Н/ИцДК) АхшДй).
Доказательство леммы 1.3 такое же, как и у леммы 1.2, с учетом асимптотики Е(х) = 0(1) при х —> оо.
Напомним, что в силу (1.1.6)—(1.1.7) для локализаций V)// имеет место лорановское разложение (где Т = р>Ь/, а — центр куба С) из леммы 1.2):
у*/(х) = са(У$/, а)даЕх - а),