Нелокальная сходимость метода Ньютона-Канторовича для интегральных уравнений Вольтерра

• Автор: Додонов, Николай Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 96 с.

Оглавление
Введение
ГЛАВА 1. НЕЛОКАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ МЕТОДА НЬЮТОНА-КАНТОРОВИЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА БЕЗ ПАРАМЕТРА.
§1. Постановка задачи
§2. Нелокальная сходимость метода простой итерации
§3. Нелокальная сходимость метода Ньютона-Канторовича
§4. Нелокальные оценки быстроты сходимости К-метода
Добавление к главе
ГЛАВА 2. НЕЛОКАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ МЕТОДА НЬЮТОНА-КАНТОРОВИЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА С ПАРАМЕТРОМ
§1. Постановка задачи
§2. Общий промежуток сходимости К-метода для множества возможных значений параметра
§3. Оценка равномерной близости нормированных мер
§4. Аппроксимация функций распределения решения уравнения Вольтерра функциями распределения элементов последовательности К-метода
Заключение
Литература

Введение.
Известно [26], что интегральные уравнения Вольтерра обладают рядом особенностей. Например, если интегральный оператор задан на пространстве непрерывных функций с sup-нормой на основном промежутке [О, Т], то можно говорить о максимальном промежутке существования решения уравнения при определенных ограничениях на ядро оператора. Пусть для решения уравнения Вольтерра применяется метод Ньютона-Канторовича (К-метод), [22]. Тогда, учитывая выше сказанное, можно поставить следующий вопрос о выборе начального приближения Жо(А), t Є [0)7"]) начиная с которого К-метод будет сходиться в sup-норме: существует ли для выбранной функции жо(') число Ті такое, что і) 0 < Ті Т, и) в sup-норме отрезка [0,Ті] К-метод сходится. Применяя стандартные рассуждения, достаточно просто (при разумных ограничениях на ядро и его производную Фреше) ответить положительно на такой вопрос в локальном смысле: достаточно малое такое Т существует для любого начального приближения жо(-). Однако для ряда вопросов полезно знать информацию о величине максимального промежутка сходимости К-метода для выбранного начального приближения, то есть о промежутке [0, Т(жо)}, где Т(хо) - точная верхняя грань рассмотренных выше Т. Заметим, что здесь мы сталкиваемся с нелокальной сходимостью, поэтому исследование величины Т(хо) уже не столь просто, как для Т. Можно пойти еще дальше и построить точную нижнюю грань Тд для всех таких T(xq). Тогда на промежутке [0, Т2], Тг любое, строго меньше Тд (не обязательно Тд ф 0) К-метод будет сходиться в его sup-норме для любого начального приближения, то есть глобально сходиться. Опять-таки имеется ряд вопросов, для которых не бесполезна информация о величине Тд. Следует отметить, что в известных автору работах, например [31-42], такая постановка вопроса о выборе начального приближения не достаточно исследована.
Подчеркнем, что такой подход к начальному приближению принципиально важен, если решается семейство интегральных уравнений Вольтерра с распределенным параметром а. Это озна-

чает [20], что параметр изменяется в соответствии с некоторой борелевской мерой, заданной на пространстве его возможных значений (носителе параметра). Тогда функционалы, построенные на решениях семейства уравнений, будут индуцировать на прямой К соответствующие меры-образы исходной нормированной меры, которые являются одним из основных объектов изучения при таком подходе к семейству операторных уравнений. Но все это предполагает существование общего промежутка разрешимости рассматриваемых уравнений для почти всех значений параметра. Если семейство решений ищется с использованием К-метода, то, владея для почти всех а информацией о соответствующих значениях Т(хо(*, ск)), можно в качестве общего промежутка взять точную нижнюю грань всех Т(хо(-, а)) по а.
Сделаем краткий обзор полученных результатов. В §1 главы 1 формулируется постановка задачи для интегрального уравнения Вольтерра, ядро которого принимает значения в банаховом пространстве X. Исследования проводятся в рамках пространства СХ непрерывных функций на отрезке [0, Т] со значениями в X и соответствующей зир-нормой. Приводятся примеры, отображающие влияние начального приближения для итерационного метода на величину промежутка сходимости.
В §2 на примере метода простой итерации (ПИ-метод) в рамках сформулированных условий на ядро подробно разрабатывается метод исследования, являющийся основным для изучения К-метода. Показано, что максимальный промежуток сходимости ПИ-метода для выбранного начального приближения всегда открыт в [0,7і]. Однако обнаружено, что если для ядер без последействия вир ||жп(Т(жо))|| = оо (ж„(-) - итерационная последова-
тельность ПИ-метода), что характерно и для максимального промежутка существования решения, то для ядер с последействием такого эффекта в общем случае уже не наблюдается, для чего построен соответствующий пример. В терминах функций сравнения для ядра, получены интегральные оценки для Т{хо)и Тд. Что касается топологической структуры промежутка [0 ,Тд), то на примерах выяснено, что возможны все три случая: Тд — 0,

Применяя в интегралах функции Ф и Ф, учитывая их монотонность, получаем неравенство:
|®п(* + 5)1 < ||®п||* + А« ' [Ф(* + Д*,гп_1)+
t--Дs
+г„_1-Ф(« +Д«,г„_1)] + Ф<1(* +А<,г„_1) / ||ж„||тФг+ (47)

+Дй (£ + А£) Ф„(£ + Д£, гп_1) ||жп||(.
t+As
Но ||жп||< не убывает по £, тогда Дй ||ж„||* / ||жп||гс?т. Но,

вир-норма ||®П||*+Дв = тах{||ж„||*, ||агп||[*,*+дв]}- Так как в (47) переменная 5 произвольна из отрезка [0, Да], то учитывая все это получаем:
Ця-пНн-Д» 11®я||* Т ' [Ф( + Аь, гп_х)-Ь
£+д® ("48')
+г„—1 Ф(* + Д4, г„_1)] + Ф(< + Дг, гп_х) / ||аг„||г<*т.

Полагаем в (48) гу(Дй) = ||жп||4+д5, ф(Дв) - сумма слагаемых без знака интеграла, &(Д$) = Ф(£ + Д£, г„_1), Дв £ [О, Д£]. Все функции, участвующие в (48), могут иметь разрыв только I рода и на не более чем счетном множестве. Тогда применима лемма 5, из которой следует:

||®п||*+Дв < <р(&з) + J <р(т) к(т) ехр(Ф(£ + Аг, гя_1) (Дв - т))Фг
Дв Дв
Непосредственно вычисляя интегралы вида / еа'тс1т и / теа'тс1т,

производя необходимые преобразования, получаем неравенство (45).
(п) Так как 7Г(£, й, х) = К (в, х), то работает принцип отсутствия последействия:

Т„(£) = Жп(£ - Дв) + / Х(5,Жп_1(5))сг5+
t—As

+ / -1(5)) (х„(в) - Хп-1(з))с1з.
t-As