Геометрические критерии мебиусовости отображений

• Автор: Кергилова, Татьяна Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Горно-Алтайск, Новосибирск
• Количество страниц: 112 с. : ил.

1 Четырехточечный критерий мебиусовости
1.1 История вопроса и постановка задачи
1.2 Обозначения, терминология и основная теорема
1.3 Две геометрические леммы
1.4 Круговое свойство при 0<а<7г
1.5 Случай 7Г < а < 2тг. Лемма о малых хордах
1.6 Случай 7г < а < 2л. Отсутствие точек невыпуклости на
границе образа круга
1.7 Круговое свойство при я < а < 2-тг
1.8 Доказательство основной теоремы
2 Отображения, сохраняющие фиксированное ангармоническое отношение с точностью до комплексного сопряжения
2.1 История вопроса и постановка задачи
2.2 Обозначения, терминология и основные теоремы
2.3 Две вспомогательные леммы
2.4 Выполнение условия сохранения мёбиусовых середин
2.5 Доказательство теоремы 2.2
2.6 Доказательство теоремы 2.2.5

2.7 Квазиконформность и устойчивость критерия мёбиусовости
2.8 Окружности Аполлония, точки Аполлония и аполлониевы
тетрады
3 Ангармоническое отношение и критерии мёбиусовости в пространстве
3.1 История вопроса и постановка задачи
3.2 Мёбиусовы вложения
3.3 Геометрические критерии аффинности и мёбиусовости
3.4 Аналог ангармонического отношения в Нп
3.5 Критерий мёбиусовости (случай вещественного А)
3.6 Критерий мёбиусовости (случай невещественного )

Мёбиусово отображение расширенной комплексной плоскости С на себя - это отображение, осуществляемое дробно-линейной функцией или функцией, комплексно сопряженной к ней.
Одним из определяющих свойств дробно-линейного отображения является инвариантность ангармонического отношения. В курсе ТФКП хорошо известно также и круговое свойство: мебиусово отображение переводит обобщенные окружности в обобщенные окружности.
В 1937 г. Каратеодори в работе [7] получил геометрический критерий мёбиусовости: инъективное отображение / : D —у С области D С С является мёбиусовым (то есть ограничением на D мёбиусова автоморфизма расширенной плоскости) тогда и только тогда, когда для любой точки z £ D существует такой открытый круг В С D с центром в г, что образ /(£) каждой окружности Е с В является окружностью. Замечательно то, что при этом от отображения / не требуется даже непрерывности.
Позднее эта теорема была обобщена на пространственный случай с заменой окружностей на сферы (Beardon, Minda [37]) и гиперсферы (Hofer [24]). Другие результаты по этой теме, которую можно назвать "меби-усовость отображений, переводящих сферы в сферы или в подмножества сфер," можно найти в работах следующих авторов: Nehari Z. [15], Aczel J., McKiernan М.A. [42], Ю.Б. Зелинский [25], G. Yao [21], [22], В. Li и G. Yao [20], [19], J. Gibbons, C. Webb [17], J. Jeffers [18], Chubarev A., Pinelis I. [16] и др.
На основе классических критериев в современной геометрической теории функций сложилось направление, называемое "характеризация геометрических преобразований при минимальных предположениях ", включающее также изучение минимальных критериев изометричности [26],

Пусть Т - окружность, содержащая круговую дугу т. Тогда дополнительная круговая дуга т : = Т т (21,02) имеет вписанный угол 9(т) = л — 9(т) = 0(7) — /3. Так как 0(7) > а1 > (п + /3)/2, то я — в(7) < 0(7) — /3 = в(т) и, следовательно, 0(т) > 0(Е 7(21, 22))- Это означает, что т С В'0. Следовательно, для окружности Т = т + т имеем включение Т С -Во и В'0 С В (го, К). Поэтому к окружности Т применима лемма
1.6.3. Обозначим через £>1 открытый круг с границей Т. По лемме 1.6.3 дуга /(т) не содержит точек распрямления, и потому не является прямолинейным отрезком. Тогда, по лемме 1.5.1, либо /(т(г 1,22)) С Р+, либо /(т(21, 22)) С Р~. Если /(т(21, 22)) С Р~, то по лемме 1.3.1 дуга /(7) является круговой дугой, что и требуется в промежуточном утверждении

Остаётся изучить случай, когда /(т(гь 22)) С Р+, то есть дуги /(г) и /(7) лежат с одной и той же стороны от прямой Р. В этом случае для области С : = Во П В1 её образ /((2) (жорданова область, ограниченная дугами /(г) и /(7)) содержится в Р+.
Положим П : = зе§т(/(7)) и возьмём какую-нибудь точку 1о е 7(21, 22). Мы знаем (лемма 1.6.3), что точка /(10) не является точкой вогнутости относительно /(Во). Это означает, что имеется открытая окрестность и ТОЧКИ /(£о)> в которой не существует поддуги /(7^17 ^]) С /(7)) удовлетворяющей требованиям (Ф1)-(ФЗ). Возьмём точки П,^2 € 7 так7 чтобы р € 7(£ъ<2) и /(7[Нрг]) С и. По лемме 1.5.3 о малых хордах /(7[П)^]) не пересекается с Л(/(И),/(^г)) и жорданов сегмент си : = segm(/(7[^l, ^г])) содержится в П. Для дуги /(7^1, £2]) выполнены требования (Ф1)-(Ф2). Значит, требование (ФЗ) не должно выполняться для этой дуги. Это означает, что для любой открытой окрестности V точки /(£о) множество V Псо пересекается с областью /(По)- Так как при этом