Некоторые экстремальные задачи для положительно определенных целых функций нескольких переменных

• Автор: Бердышева, Елена Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 61 с.

Оглавление
Список обозначений
Введение
Глава I. Неравенство Джексона в пространстве 1/2 (В,т) с наименьшей константой и оптимальной точкой в аргументе модуля непрерывности и родственная экстремальная задача для целых функций
§1. Постановка задач и их взаимосвязь
§2. Решение задач для функций со спектром в кубе
Глава II. Оптимальное неравенство Джексона в пространстве Ь2(Вт) с наименьшей константой и оптимальной точкой в аргументе модуля непрерывности и соответствующая экстремальная задача для положительно определенных целых функций
§1. Задача об оптимальном неравенстве Джексона и задача о наименьшей мере множества точек положительности целой положительно определенной функции. Связь задач
§2. Решение задач в одномерном случае
Список цитированной литературы

Список обозначений
Rm — m-мерное вещественное пространство;
Zm — подмножество элементов Rm, все координаты которых являются целыми числами;
Тт =- (—7г, 7г]т — т-мерный тор;
xt = Xiti + + xmtm — скалярное произведение элементов х = (xi
|æ| = (х +
aV = {х £ Rm : § € F}, где F С Rm и a > 0; e = (1,1
Пт = [-1, l]m;
Bp(Rm) — единичный шар пространства £p(Rm);
B(x,s) — евклидов шар радиуса s с центром в точке х £ Rm;
L(U) — пространство (комплексно-значных) функций, определенных и суммируемых на множестве U С Rm; L = L(Rm);
L2{U) —пространство (комплексно-значных) функций, определенных и суммируемых с квадратом на множестве U с Rm; L2 = Ь2(Rm);
f(t) = I f{x)e~,xtdx — преобразование Фурье функции / £ L;
' Rm '
Ха(t) — характеристическая функция множества А £ Rm; m(f) — mes {х £ Rm : f(x) > 0};
M(Q) = inf{m(/) : / £ Q,f ф 0}, где Q есть некоторый класс вещественных непрерывных функций на Rm;
T{f; V) = sup (||i||y : f(t) > 0} ;
T{Q;V) = inf {T(fV) : / £ Q, f ф 0}, где Q есть некоторый класс вещественных непрерывных функций на Rm;
E(f;aV) = inf {||/ — p||i,2 : g £ W(aV)} — наилучшее приближение функции / £ L2 в пространстве Ь2 классом W(crV) целых функций экспоненциального типа со спектром во множестве aV ; u(f;rU) = sup{||/(ж +1) — /(t)|U2 : t £ tU} — модуль непрерывности функции f £ L2
K(tU, crV) = sup сона;
K*(U,V) = inf {K(tU, V) : г > 0} — наименьшая константа в неравенстве Джексона;
K(rU,p) — inf {K(tU, V) : mes У = р] — константа в оптимальном
E(f aV)
—тт—77Г : / е -2, / Ф const > — константа Джек-. w(/;rî/)

неравенстве Джексона (р > 0);
K*(U,p) = inf {K(tU, р) : т > 0} — наименьшая константа в оптимальном неравенстве Джексона;
в(и, V) — оптимальная точка в неравенстве Джексона;
в(1/, р) — оптимальная точка в оптимальном неравенстве Джексона.

В силу вложения (1.7) отсюда также можно сделать вывод о значении величины (1.1) для промежуточных классов (тП) и £(тП). Именно, справедливо следующее утверждение.
Следствие 1 Для любого центрально симметричного выпуклого замкнутого ограниченного тела V при любом т > 0 выполняются неравенства
< Г(£+(т1Г); У) < Т(С+ (тПт); У)

< Г(+(тПт);У) < Г(С+(тПт);У) < 1.
Если множество V удовлетворяет -условию, то выполняются равенства
Г(£+(тПт); У) = Г(+(тПт); У)
Приступим к доказательству теоремы 2. Сначала отметим, что для любых выпуклых замкнутых ограниченных центрально симметричных тел и и V имеет место равенство
Т(£+(иу,У) = ПЕ+(и);У). (1.39)
Действительно, вложение Е+(11) С £т(Ю влеет неравенство Т(£+(У); У) < Т(Е+(и);У). С другой стороны, в силу леммы 1 любая функция / € £т№) со свойством Г(/; У) < оо принадлежит классу Е+(и). Следовательно, справедливо обратное неравенство, а значит, и равенство (1.39).
Пусть 2 = Я(и) есть один из классов функций £+(17), Е+(и), С+(17), Д+([/), £+(£/). С помощью замены переменных нетрудно проверить, что для каждого из этих классов имеет место соотношение
Т(Я(тЦ); V) = У1. (1.40)

Поэтому доказательство теоремы достаточно провести для значения т = 1.