Абстрактная стохастическая задача Коши с генератором полугруппы класса (1, А) и с генератором К-конволюционной полугруппы

• Автор: Здобнова, Светлана Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 100 с.

1 Некоторые семейства операторов, связанные с абстрактной
задачей Коши
1.1 Связь абстрактной задачи Коши с теорией полугрупп
1.1.1 Полугруппа класса Со и равномерно корректные задачи. "Разреженные" условия равномерной корректности
1.1.2 Полугруппы класса (О, А) эквивалентные определения, связь
с корректными задачами
1.1.3 Полугруппы класса (1 , А). Существование проинтегрированного решения детерминированной задачи
1.2 АГ-конволюционная регуляризация
1.2.1 А'-конволюционная полугруппа
1.2.2 Неоднородная задача с генератором К-конволюционной полугруппы: А'-конволюционное решение
1.2.3 Семейство операторов, сопряженных к операторам К-конволюционной полугруппы в гильбертовом пространстве
2 Абстрактная стохастическая задача Коши
2.1 Случайные величины со значениями в гильбертовом пространстве. <3-винеровские процессы
2.1.1 Определение случайных величин со значениями в гильбертовом пространстве
2.1.2 Моменты случайной величины и характеристический функционал. Взаимные моменты
2.1.3 Гауссовы случайные величины и случайные функции
2.1.4 О-винеровские процессы
2.2 Стохастические интегралы по О-винеровскому процессу
2.2.1 Стохастические интегралы от элементарных функций
2.2.2 Изометрия Ито. Расширение понятия стохастического интеграла
2.3 Абстрактная стохастическая задача Коши с генератором полугруппы класса (1,А)
2.3.1 Постановка задачи
2.3.2 Стохастическая свертка и ее свойства
2.3.3 Существование и единственность слабого решения, вероятностные характеристики
2.4 Абстрактная стохастическая задача Коши с генератором К-конволюционной полугруппы
2.4.1 Постановка задачи
2.4.2 А-конволюционная стохастическая свертка.
Существование и единственность слабого К-конволюционного решения
Список литературы

При построении моделей реальных систем наряду с детерминированными факторами все чаще стремятся учитывать и воздействие различных случайных факторов. Это приводит к созданию стохастических моделей, а при обращении к абстрактной задаче Коши, основному объекту диссертационных исследований, — к стохастическим задачам со случайными процессами в бесконечномерных пространствах.
Пусть (П,^7, Р) — вероятностное пространство, II, II — (сепарабельные) гильбертовы пространства. Для конструкции стохастических интегралов в вероятностное пространство вводится система а-алгебр [Ті | Ї > 0} — фильтрация.
Рассматривается стохастическая неоднородная задача Коши:
с замкнутым оператором А : О (А) С Н -ї Н, помехами в виде композиции белого шума РУ(£) и оператора В Є Ь(11,Н), £ — Н-значная случайная величина. Задача (1) пониматся как интегральное уравнение
где ]¥ (£) — ф-винеровский процесс со значениями в пространстве И (обобщение винеровского процесса на бесконечномерный случай).
Подход, используемый в исследовании уравнения (2), основан на полугрупповой технике: изучается абстрактная стохастическая задача Коши с генератором полугруппы класса (1 ,А) и с генератором К-конволюционной полугруппы.
Таким образом, результаты, представленные в диссертации, находятся в пересечении следующих разделов анализа: теории абстрактных уравнений, стохастического анализа, теории полугрупп. Все разделы являются сравнительно молодыми. Кратко история их появления и взаимопроникновения выглядит следующим
^^ = АВД + ЯУУ(*),*Є(0,т),т<оо Х(0)=£, (1)
образом (по [7, 6, 31, 41, 22]).
Основы того направления, которое сейчас именуется стохастическим анализом, были заложены теоремой Колмогорова о существовании процесса с заданной системой конечномерных распределений, названной автором "основной теоремой" (впервые опубликована на немецком языке в 1933 г. в монографии "Основные понятия теории вероятностей"). До ее появления исследование случайных процессов, как семейств случайных величин, велось, главным образом, с точки зрения свойств их конечномерных распределений. Согласно теореме Колмогорова, отправляясь от системы согласованных конечномерных распределений вероятностей, можно построить случайную функцию с теми же конечномерными распределениями.
Пусть Y(t) — марковский процесс на действительной прямой (решения стохастических дифференциальных уравнений дают обширный класс марковских процессов). Для марковского процесса все конечномерные распределения однозначно определяются его двумерными распределениями. Обозначим F(y,t г/оДо), гДе t0 < t, — условное распределение вероятностей процесса Y(t) для Д £ R при заданном К(Д) = у о- Далее почти во всех интересных случаях можно предположить, что
lim F(y,t yo,t0)*[{t~to) 1] = Dy о,
t-Ho
где Dyo — некоторое распределение, [а] обозначает целую часть числа, *к — Ar-кратную свертку. Таким образом, Dy$ является безгранично делимым распределением. Случайная величина Т называется безгранично делимой, если для каждого п > 1 можно найти такие независимые одинаково распределенные случайные величины Ti,... ,Тп, что Т = Т + ... + Тп (или, что то же самое, FT = Ftx * ... * FrJ, это равносильно тому, что случайная величина является пределом по распределению сверток вида Fynl * ... * Frn п ■ К безгранично делимым распределениям принадлежат и гауссовское и пуассоновское распределения.
Проблема, поставленная Колмогоровым, формулируется следующим образом: для заданного семейства безгранично делимых распределений L(t,y) найти процесс Y(t) с заданным начальным

и значит,

А I / Зк{з-г)1(г)йг(18= 5к (£-з)/(«) (їв- / А(з-г)/(г) <№,
то есть свертка удовлетворяет уравнению (36).
Таким образом, функция, заданная соотношением (34) является
Определение 1.2.2. Решение уравнения (35) будем называть проинтегрированным А-конволюционным решением задачи (4).
Итак, существует проинтегрированное А-конволюционное решение задачи (4) с оператором А, порождающим А-конволюционную полугруппу, причем одним из решений является функция вида (5),
1.2.3 Семейство операторов, сопряженных к операторам К-конволюционной полугруппы в гильбертовом пространстве
Для рассмотрения слабого проинтегрированного решения стохастической задачи необходимо изучить свойства семейства операторов, сопряженных к операторам А-конволюционной полугруппы. В случае, когда порождающий полугруппу оператор А плотно определен, удается доказать, что сопряженное семейство также является А-конволюционной полугруппой, а значит, при переходе в сопряженное пространство сохраняется возможность работать с проинтегрированным решением.
Теорема 1.2.2. Пусть вк = {<5/Д£) | £ Є [0,т),т < оо} — К-конволюционная полугруппа в гильбертовом пространстве Н, порождающий ее оператор А плотно определен. Тогда семейство операторов Б*к — {6д-(£) | £ Є [0, т),г < оо} также является К-конволюционной полугруппой, при этом оператор А* — генератор этой полугруппы.
Доказательство. Операторы 5}Д£) ограничены как сопряженные к ограниченным и коммутируют на И (А*) с оператором А*, так как коммутируют на 0{А) операторы 5Д с оператором А.
решением уравнения (35).

где и (і): = 5к (£).