Спектральные портреты задач штурма-лиувилля и Орра-Зоммерфельда с малым параметром

• Автор: Покотило, Вадим Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 71 с.

Оглавление
Введение
1 Предельный спектр задачи Орра-Зоммерфельда с профилем, обладающим одним экстремумом на отрезке
1.1 Предельные спектральные кривые
1.2 Граф Стокса
2 Асимптотика спектра задачи Штурма-Лиувилля на вещественной оси с потенциалом q(x) = х2п
2.1 Граф Стокса
2.2 Предельный спектральный граф
3 Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом <7(2;) = х4 — а2х2
3.1 Кривые в А-плоскости, соответствующие сложным графам
Стокса
3.2 Классификация сложных комплексов Стокса
Литература

Введение
В гидромеханике хорошо известно уравнение Орра-Зоммерфельда, которое возникает при линеаризации уравнения Навье-Стокса в пространственном слое (х,£, и) € К3, где | х |< 1, (£, и) 6 М2, когда невозмущенное стационарное течение для скорости имеет форму (д(т),0,0). Это уравнение относительно функции у = у(х) (см. подробности, например, в монографии [37]) имеет вид
{(£>2 — а2)2 — іаЯ[д(х)(Б2 — а2) — д"(х)]}у = —іаЯХ(В2 — а2)у, (1)
Здесь В = й/йх, а — волновое число (а ф 0), возникающее при разделении переменных по (£, I/) 6 12, К — число Рейнольдса, характеризующее вязкость жидкости, а А — спектральный параметр. Обычно уравнение Орра-Зоммерфельда рассматривают с краевыми условиями
Задача Орра-Зоммерфельда изучалась многими авторами с начала XX века. Основные результаты и литературные ссылки можно найти в монографиях Драйзина и Райда [37], Дикого [7], а также в работах Гейзенберга, Базова, Лина и др (см. библиографию в [37]). В частности, вопрос о том, как ведет себя спектр задачи Орра-Зоммерфельда был поставлен еще Гейзенбергом.
Особый интерес представляет описание поведения спектра задачи (1), (2) при Я -> оо. Число Рейнольдса Я обратно пропорционально вязкости жидкости, поэтому сформулированная проблема эквивалентна описанию спектра задачи Орра-Зоммерфельда для жидкости, близкой к идеальной. Долгое время считалось, что для решения этой проблемы важно знать спектр задачи Релся
Задача Релея получается (после деления уравнения (1) на ~гаЯ) формальным предельным переходом при Я —> оо и отбрасыванием "лишних"краевых
у(-1) = у'{-1) = ?/(1) = гу'(1) = 0.

д(т)(£>2 - а2)у - д"(х)у = (В2 - а2)у, у(-1) = у(1) = 0.

Введение

условий. Изучению спектра задачи (3) посвящена обширная литература, с которой читатель может познакомиться в статьях Лина [43] и монографии [37]. В действительности, как отмечено в [28], основная проблема описания спектра задачи Орра-Зоммерфельда при Я —> оо по существу не имеет отношения к задаче Релея. Известно [37], что спектр задачи Релея состоит из отрезка [то, М], где то и М - минимум и максимум функции д(ж) (предполагается, что функция ц(х) непрерывна), и, возможно, изолированных собственных значений вне этого отрезка. Первым, кто заметил, что спектр задачи Орра-Зоммерфельда при больших Я не подходит непрерывно к спектру задачи Релея, был, по видимому, Гейзенберг. Может существовать область, содержащая интервал (то, М), свободная от спектра задачи (1), (2) при всех больших числах Я. Это явление получило название "язык Гейзенберга". Гейзенберг еще в 1924 году доказал существование фундаментальной системы решений для уравнения (1), имеющей специальное представление (см. [37]), что очень существенно для объяснения этого явления. Но нам неизвестны работы Гейзенберга, где содержатся идеи, позволяющие объяснить это явление. В этой связи укажем важную работу Моравец [45], где показано, что при д(х) — х собственные значения задачи Орра-Зоммерфельда могут локализоваться только вблизи отрезков [—1, —г/л/З], [1, — г/л/З] и луча [—г/л/3, —гоо), хотя подчеркивается, что информацию о собственных значениях в малых окрестностях первых двух отрезков получить не удается. Информация о собственных значениях на мнимой оси получена в указанной работе только для достаточно далеких собственных значений, что вытекает из общих методов, развитых еще Биркгофом, а для уравнения Орра-Зоммерфельда — Гейзенбергом.
В начале 90-х годов Редди, Хеннингсон и Шмидт [48], а также Трефезен [52] начали изучать более простую задачу вида
представляющую несамосопряженный вариант классической спектральной задачи Штурма-Лиувилля. Здесь е - малый, а А - спектральный параметры. Их численные расчеты подтверждали схожесть спектральной задачи Орра-Зоммерфельда и модельной задачи. В пользу того, что спектральную задачу (5), (6) можно рассматривать как упрощенную модель для (1), (2) можно привести следующие аргументы (см. [28]). Сделаем в уравнении (1) следующую замену .г = (Б2 — а2)у. Из этого равенства и краевых условий 2/(—1) = у'{ 1) = 0 найдем у{х) по формуле
геу'' + д(х)у = А у, У{~ 1) = 2/(1)

Глава
Асимптотика спектра задачи Штурма-Лиувилля на вещественной оси с потенциалом q{x)
В этой главе мы перейдем от рассмотрения задачи Штурма-Лиувилля на отрезке к изучению поведения спектра при рассмотрении семейства операторов на вещественной оси. Целью данного перехода является изучение поведения спектра задачи Штурма-Лиувилля, рассматриваемой на вещественной оси, для широкого класса потенциалов д(х). Известно, что спектр оператора Штурма-Лиувилля, рассматриваемого в пространстве 1/2(М) дискретен в случае неограниченного роста потенциала при х —> ±оо . Поэтому множество потенциалов, для которых задача имеет смысл, несколько сужается. Итак, в данной главе изучается семейство дифференциальных операторов
Ь(є)у = ієу" + д(х)у, є > 0, (2.1)
действующих на вещественной оси с краевыми условиями:
у{-оо) = у( оо) = 0, (2.2)
и соответствующее уравнение на собственные значения:
ієу" + д(ж)у = А у или у" — ш2(д(ж) — А )у, и2 = 1/є, (2-3)
где є малый параметр, а д(х) = (ж + а)2п + Ь, а, Ь Є К, п Є N. Заметим, что
достаточно рассмотреть случай д(ж) = х2п, поскольку при замене і = х + а оператор и краевые условия не меняются, а прибавление константы Ь просто сдвигает спектр.
Лемма 2.1. Спектр задачи 2.1, 2.2, 2.3 лежит в квадранте
П = {А Є С| ЯеХ > 0, 1тп < 0}.
Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму операторов 2.1 с потенциалом д(х) — х2п, порожденных краевыми условиями 2.2:
(.Ьу,у) = -гє(у',у') + (хпу,хпу).