Некоторые случаи интегрируемости уравнения Левнера и экстремальные задачи

• Автор: Садритдинова, Гулнора Долимджановна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 64 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Основные обозначения
Введение
Глава I. Один новый случай интегрирования уравнения Левнера
§ 1. Основные результаты
п. 1. Уравнение Левнсра-Куфарева
п. 2. Теорема о существовании и единственности решения
уравнения Левнера-Куфарева
п. 3. Основные понятия
§ 2. Выбор управления
§ 3. Функция р(т)
§ 4. Интегрирование
§ 5. Предельный случай
§ 6. Частный случай
Глава И. Экстремальное управление в задаче вращения на классе Sp
§ 1. Основные понятия и результаты
п. 1. Оценки аргумента производной
п. 2. Экстремальные управляющие функции в задаче
о max arg f'(z0) на классе S
§ 2. Параметризация функционала
н. 1. Вывод основных формул
п. 2. Введение параметров
§ 3. Условие существования единственного вещественного корня
некоторого уравнения третьей степени
§ 4. Вспомогательная кривая
п. 1. Отображение перехода к вспомогательной кривой
п. 2. Параметризация вспомогательной кривой
п. 3. Построение графика вспомогательной кривой
§ 5. Нахождение решений некоторого уравнения,
доставляющих максимум функционалу I(fp, г)
п. 1. Расположение дуг, прообразов дуг
вспомогательной кривой
п. 2. Аналитическое выражение ветвей, доставляющих
максимум функционалу
п. 3. Случай р
§ 6. Нахождение экстремальных управляющих функций
Глава III. Свойства решений уравнения Левнера
с постоянным управлением
§ 1. Некоторые результаты в задаче о коэффициентах
§ 2. Постановка задачи
§ 3. Решение уравнения Левнера с постоянным управлением
п. 1. Интегрирование
п. 2. Геометрия решения
§ 4. Разложение по степеням 2 решения уравнения Левнера с ц = ~1
и новое представление полиномов Бранжа
Библиография

Основные обозначения
N - множество натуральных чисел;
R - множество действительных чисел;
R+ - множество положительных действительных чисел;
Z - множество целых чисел;
Е - единичных круг {z : г < 1};

S класс голоморфных однолистных в Е функции вида f(z') = z z ckzk',

Sp - класс голоморфных однолистных в Е функций вида

fp(z) = z + £ zkp+] с р-кратной симметрией вращения относительно

нуля;
S'p - подкласс класса S„ функций f„(z) = lim q f(z, т),
т—>00
где f(z, т) - решение уравнения Левнера; fp - функция класса 5р;
f{z) - функция, сопряженная функции /(г);

, , а(сх - 1) ... (а - (га - 1))
биномиальный коэффициент, равный
п. 3. Выясним расположения дуг КщП.
Функция «о при /г -» ±0 стремится к ±оо. Функция 1) при А —> ±0 стремится к +оо. Так как и -> ±0 при Л -> ±0 и и0 -» ТО при /г -» ±0, то дуги К|() и
/СТо имеют общую концевую точку (0; 0).

Прямые и = 0, и = О, V = ~ — являются асимптотами соответственно для /<Ть оо. /<01
Поскольку параметр /г на дугах Кт изменяется от 0 до ~, причем
= V; [~ = -1, следовательно, дуга К,0 имеет с дугой К общую концевую точку Лт с ординатой, равной -1. Кроме того ит - р + (~1)т р2
(те = 0, 1), г.е. абсцисса точки А равна р + (-1)т л/р2 - 1 (те = 0, 1).
Аналогично этому дуги и /С,1 имеют общий конец Ауп с ординатой, равной 1, и абсциссой -р - (-1)'” у]р2 - 1 (те = 0, 1).
Функции (2.19) монотонны, так как их производные имеют постоянный знак. Поэтому других конечных общих точек, кроме отмеченных выше, дуги

Ктп не имеют.
График кривой (2.18) представлен на рис. 1.