Канонические и граничные представления на сфере с действием обобщенной группы Лоренца

• Автор: Артемов, Анатолий Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Тамбов
• Количество страниц: 170 с.

Содержание
Введение

Глава I. Представления обобщенной группы Лоренца, связанные с

конусом

§ 1. Обобщенная группа Лоренца

§ 2. Представления обобщенной группы Лоренца, связанные с конусом

Глава II. Гармонический анализ на однополостном гиперболоиде

§ 3. Однополостиый гиперболоид

§ 4. //-инварианты

§ 5. Преобразование Пуассона

§ 6. Преобразование Фурье

§ 7. "Усреднение" по подгруппе Н
§ 8. Собственные функции оператора Ьа
§ 9. Собственные функции //-радиальной части оператора Лапласа
§ 10. Сферические функции
§ 11. Спектральные разложения по собственным функциям оператора Лежандра

§ 12. Разложение квазирегулярного представления на однополостном гиперболоиде
Глава III. Гармонический анализ на пространстве Лобачевского
§ 13. Гармонический анализ на пространстве Лобачевского
Глава IV. Форма Березина на гиперболоидах с надгруппой 8Ь(т?.. К)
§ 14. Форма Березина на гиперболоидах и парах гиперболоидов
§ 15. Смешанные сферические функции
§ 16. Разложение формы Березина на однополостном гиперболоиде
§ 17. Разложение формы Березина на пространстве Лобачевского
§ 18. Разложение формы Березина на паре гиперболоидов
§ 19. Гармонический анализ на паре гиперболоидов
Глава V. Максимально вырожденные серии представлений группы
БЦа, К)
§ 20. Группа 8Б(п, К), ее разложения
§ 21. Максимально вырожденные серии представлений
§ 22. Сплетающие операторы
Глава VI. Канонические и граничные представления на сфере с надгруппой ЯЦп, Ж)
§ 23. Канонические представления. Форма Березина
§ 24. Граничные представления
§ 25. Преобразования Пуассона, связанные с каноническими представлениями
§ 26. Преобразования Фурье, связанные с каноническими представлениями
§ 27. Преобразования Пуассона и Фурье в полюсах друг друга
§ 28. Разложение граничных представлений
§ 29. Разложение канонических представлений и формы Березина
Глава VII. Канонические и граничные представления на сфере с
надгруппой 8О0(1,га)
§ 30. Представления надгруппы, связанные с конусом
§ 31. Канонические представления
§ 32. Граничные представления
§ 33. Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническим.представлением
§ 34. Преобразования Пуассона и Фурье в полюсах друг друга
§ 35. Разложение канонических представлений
Литература

7Іа) 1 = (27г) n+1 (2а + п — 2) sin^o- + ^7Г • Г(—а) Г(<т + п — 2).
Представление Та можно распространить на пространство ТУ (в) обобщенных функций на Б посредством формулы (2.4). Аналогично, оператор Аа можно распространить на Т>'(Б) посредством (2.5).
Представление Та неприводимо при а Є С за исключением сгєМиаЄ2-п-П. Если Та неприводимо, то Тс эквивалентно Т, _п_.а с помощью оператора Л„ или его вычета.
Как функция от а оператор Аа имеет простые полюсы в точках а — ^к+к, к Є N. Это видно из формулы (2.16), полюсы происходят от гамма-функции Г(—а—(п—2)/2) в выражении (2.16). Поэтому оператор
Аа = г(^-о] (2.18)
является целой функцией от а, нигде не обращающейся в нуль. Он сплетает Та с Т2_п_, для всех а Є С.
На подпространстве ІД оператор Аа есть умножение на число:
А„<р = а(сг, 1)<р, ір є Щ,

a(a І) = Г—іУг-^тг^-2)/2-________Г^3 ~ П ~ ^
1 { } Г(3 — п — о — 1)Г(—а + I)
В точках а = ~L + к, к Є N, т. е. в полюсах оператора Аа, оператор Аа есть многочлен степени к от оператора Лапласа -Бельтрами Дя, а именно,
л < 1и2-к+(»-2)/21("-2)/2Л Гл (п~А (п~2 М
л,+(2-п)/2 = M)fc- П b -- (— ■+о -*■)] ’
при к — 0 произведение считается равным 1, так что
А2-п)/2 = (2тг)(гг-2)/2 /г “
(2тг)(гг-2)/уі
Для п > 4 имеются три серии неприводимых унитаризуемых представлений: непрерывная серия состоит из представлений Та, а = р £ К., скалярное
произведение есть (2.3); дополнительная серия состоит из представлений СД, 2 — п < а < О, скалярное произведение есть (ф,ф)а = с17{Ааф,(р)з■ Нормирующий множитель са возьмем так, чтобы на пространстве На (константы) скалярное произведение (ф,(р)^ совпадало с (2.3), для этого надо взять
= г'тгР^Г (-а);
а(сг, и)
дискретная серия состоит из представлений ТТ , г £ Н, в фактор-пространствах V). = Т>{Б)/ЕГ, где Ет — Н0+Нг+...+Нт, скалярное произведение есть
(Ф, Ф)т = Сг{Агф, <р)з, (2.19)