Некоторые вопросы сходимости аппроксимаций Паде и аналитического продолжения функций

• Автор: Суетин, Сергей Павлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 128 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава I. Полюсы строк таблицы Паде и особые точки АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
§ 1. Формулировка основных результатов
§ 2. Доказательство теоремы
§ 3. Доказательство теоремы
Глава II. Равномерная сходимость диагональных ап-
проксимаций Паде для некоторых классов аналитических функций
§ 1. Постановка задачи и формулировка основных результатов
§ 2. Основные определения и вспомогательные результаты .
§ 3. Краевая задача Римана
§ 4. Построение “явного” решения проблемы обращения Якоби
§ 5. Доказательство основных результатов
Глава III. Аппроксимации Паде ортогональных разложений
§ 1. Основные понятия и результаты
§ 2. Доказательство предложения 3.
§ 3. Доказательство теоремы
§ 4. Доказательство предложения 3.
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
1. Задача эффективного аналитического продолжения заданной степенным рядом аналитической функции и локализации ее особенностей непосредственно по коэффициентам этого ряда является классической задачей комплексного анализа. Фундаментальные результаты в этом направлении были получены еще в конце XIX века. Наиболее известными из них являются теорема Адамара о нахождении радиусов кругов мероморфности аналитической функции по коэффициентам ее разложения в степенной ряд и теорема Фабри “об отношении”. К этому же кругу вопросов относятся исследования Чебышева, Маркова и Стильтьеса о непрерывных дробях, которые также строятся непосредственно по коэффициентам степенного ряда. Эти и другие задачи аналитического продолжения, как оказалось впоследствии, допускают естественную интерпретацию в терминах конструктивных рациональных приближений степенного ряда - аппроксимаций Паде. В рамках исследования сходимости таких аппроксимаций удалось разработать достаточно общий подход к проблеме эффективного аналитического продолжения функций и получить естественное обобщение некоторых классических задач.
Как известно, аппроксимации Паде - это локально наилучшие рациональные аппроксимации заданного степенного ряда. Они конструируются непосредственно по его коэффициентам и позволяют осуществлять эффективное аналитическое продолжение этого ряда за пределы его крута сходимости, а их полюсы в определенном смысле локализуют особые точки (в том числе, полюсы и их кратности) продолженной функции в соответствующей области сходимости и на ее границе. Последнее свойство аппроксимаций Паде основано на том, что все их полюсы “свободны” и определяются только условием максимальности касания заданного степенного ряда. Этим аппроксимации Паде принципиально отличаются от рациональных аппроксимаций с (полностью или частично) фиксированными полюсами, в том числе от полиномиальных приближений, в случае которых все полюсы фиксированы в одной, бесконечно удаленной, точке.
Именно указанное выше свойство аппроксимаций Паде - эффективно решать задачу аналитического продолжения степенного ряда - и лежит в основе их многочисленных успешных применений в анализе и при исследовании прикладных задач. В настоящее время метод аппроксимации Паде являются одним из наиболее перспективных (нелинейных) методов суммирования степенного ряда и локализации его особых точек. В том числе и по этой причине, теория аппроксимаций Паде превратилась во вполне самостоятельный раздел теории приближений, а сами эти аппроксимации нашли разнообразные применения как непосредственно в теории рациональных приближений, так и в теории чисел, теории несамосопряженных операторов, исследовании

дифференциальных уравнений, зависящих от малого параметра в теории возмущений (см. [1]- [12], а также монографию [13], где имеются дальнейшие ссылки).
Для заданного степенного ряда
и произвольной пары неотрицательных целых чисел п, т аппроксимацией Паде [n/m]f типа (п,т) ряда / называется (единственная) рациональная функция, доставляющая максимально возможный порядок касания к этому ряду в начале координат в классе функций 52П;ТП = {г £ С(г) : г = (ûq + az + • • • + anzn)/(bo + Ъгг + • • • + Соответствующая таблица
{[n/m]/}^°m=0 называется таблицей Паде ряда /, последовательности вида {[n/mf}, п — 0,1,2,..., где т - фиксированно, называются строчными последовательностями (или “строками” ) в таблице Паде, а последовательность {[n/n]f},n = 0,1,2,..., - диагональной (или “главной диагональю”).
Вопрос о мероморфном восстановлении функции / по степенному ряду (*) в ее так называемом максимальном круге m-мероморфности Dm(f) (где / мероморфна и имеет ^ т полюсов) при условии, что / имеет в Dm(f ) в точности т полюсов (полюсы функций считаются с учетом их кратностей), решается классической теоремой Монтессу де Болора [14].
Теорема Монтессу де Болора. Пусть функция / имеет ровно т полюсов в круге Dm(f) : z < R. Тогда:
1°. При для всех достаточно больших п аппроксимации Паде [n/m]f ряда / имеют равно т конечных полюсов, которые при п —> оо стремятся к полюсам функции / в причем, каждый полюс / “при-
тягивает” столько полюсов [n/m]f какова его кратность.
2°. Последовательность [n/mf, п = 0,1,2,..., сходится к функции / равномерно внутри (т.е. на компактных подмножествах) области D'm, которая получается из Dm удалением полюсов функции /.
При этом в условиях теоремы скорость сходимости последовательности [n/mjf к функции / характеризуется неравенством:
При доказательстве своего результата Монтессу де Болор в существенной степени опирался на полученные ранее Адамаром [15] непосредственно в терминах коэффициентов ряда (*) формулы для радиусов И = Дт(/) кругов Бт(/). Точнее, пусть

С-п—т+1 С-п—т+2 • • •
Нп,т =
Cji Cn_j_i . . .
Справедлива следующая
(полагаем с*. = 0 при к < 0).

Предложение 2.1. Для любого 6 > О
В(Рп;г

|г|^пе—^
А*пгп/п
= 0(1), п —» оо. (1.37)
Доказательство. Пусть р = е~5/2, Тр = {г : г = р}. Тогда на основании (1.31) и (1.36) имеем
г/1 *
= гЬХ №п/о;-Рпа;)(0(ег/*-5„_1(^)) у _Д£_П1 Г Шы~Рпи№ ег/*-5„_!(г/«) Л
" гг! я]Тр Д**« ' Т(2Д)п
Так как при Ь 6 Гр и |г| ^ гге-5 имеем: |^/^| ^ пе~5/2, то из (1-38), в силу (1.22) и (1.26), получаем (1.37).
Предложение 2.2. Для любого 6 > О В(Рпш] г

И;+т^+/(п + т)! Доказательство. Пусть р = е5/2, тогда В(Рпсо-,г) = ^-^ (РпиШе*/*
0(1), п —» оо. (1.39)

= 2тй У (-^^(О^п+т-г^А)'
+ 2- 5„+т_1(г/*))

Последний интеграл в этом соотношении равен нулю, поскольку Рпш
п + тп - 1. Следовательно,
^;+т^+т 1 [ (РпСоЩ Д* 5п+т_!(г/*) Д
А* ДП-РГП 1 /»
В(Рпи;-г)= ^ 1 I
(п + ту. 2-кг уг
(п + т)! 2*г*./Г„ Д**” (^ут(^)п+т * '
Так как |£| = е5/2, то при |г| ^ пе5 имеем: |г/*| ^ ие5/2 > (гг + т)е8Р при достаточно больших п. Поэтому из последнего представления в силу (1.21), (1.27) и свойства 1° последовательности {Д*} вытекает (1.39).