Тригонометрические приближения функций и продолжения непрерывных функций

• Автор: Колесников, Виктор Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Иваново
• Количество страниц: 103 с. : ил.

ВВЕДЕНИЕ.
Диссертация состоит из двух глав.
Первая глава посвящена изучению приближения функций тригонометрическими полиномами, свойств наилучших приближений в метрике 1/р, свойств коэффициентов наилучших приближений в метрике Ьр. Получены условия сходимости, равномерной сходимости, равномерной ограниченности и равномерной ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения в Ь для некоторых классов функций.
Вторая глава посвящена изучению продолжений непрерывных функций, заданных на компактах метрических пространств.
Перейдем к подробному изложению результатов первой главы. Пусть /(ж) - 2-7Г- периодическая функция, имеющая ряд Фурье
Обозначим Т„ (/; ж; р) — сф соэ кх + эш кх - тригонометриче-
ский полином наи лучшего приближения функции /вБр, 1<р<оо. Для удобства положим Т„(/;ж) = Тп(/; ж; 1) — полином наилучшего приближения функции / в Ь1 и 5,1 (/; х) = Гп(/; ж; 2) — частичная сумма ряда (0.1). Если функция /(ж) непрерывна на интервале (0,2тг), то полиномы наилучшего приближения Тп{/: х) единственны (см. [9, с. 452-454]).
Пусть — последовательность чисел. Условимся обозначать
Дад, — о' нд,_|_1, Д"ад, — Д' ад, Д , к 0,1
Будем называть последовательность д-монотонной, если
все разности, до д-го порядка включительно, неотрицательны: Дгад, > О, к = 0,1

(0.1)

Б. Надь (1938 г., см. [16]; [12], с. 92; [6], с. 50) доказал, что если коэффициенты Фурье о,/;, 0 < к < ос, четной 2л-периодической функции /(ж) образуют неотрицательную трижды монотонную стремящуюся к нулю последовательность, то коэффициенты сф полиномов Тп (/: х) вычисляются по формулам:

ак — Xj l)*(aA:+2f(n+l) — a_fc+(2i+2)(n+l))) к~0

(см. также [12, с. 92]). Более того, верно равенство
/(ж) - Тп(/; ж) = cos (п + 1)х Сд cos {kx)j

ск = 2 ( — 1) afc+(2i+1)(n+1),

и последовательность - выпукла.
Также для нечетной 2 -периодической функции
р(ж) bk sin (кх) Надем же (1938 г., см. [16]; [12], с. 103; [6], с.
50) было установлено, что если bk образуют неотрицательную дважды
ЕОО hi.
к=1 к
сходится, то коэффициенты Щ, полиномов Тп{д х) вычисляются по формулам

frfc = УУ (bk+2l(n+l) - b-k+(2l+2)(n+l)), к=1

Более того, верно равенство

д(х) - Тп(д; х) = sin (п + 1)ж XjDj (ж),

А? = 2 Abj+(2i+i)(n+i).

В главе 1 исследуются вопросы сходимости, равномерной сходимости, равномерной ограниченности и равномерной ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения Tn(f; х) в L для функций, которые разлагаются в ряд Фурье по косинусам с монотонно убывающими коэффициентами. Находятся также точные значения следующих величин
. 1/2 + a i cos х + + ап cos пх
mm mm mm
п>0 1>аі>->ап>0 % 1/2 ~b d ~b ' ' " “b dn

b sin x + + bn sin nx
mm mm mm
n>0 1>Ьі>-->Ьп>0а,-є[0,тг] ЬH
В § 1 главы 1 доказаны следующие теоремы
Теорема 1.1. Если Ьп 4- О, А2Ьп > 0, ряд і if сх°дится и g(x) — bk sin (кх), то для равномерной ограпиченносгпи полино-
мов Тп(дх) необходимо и достаточно, чтобы числа nbn были ограничены.
Теорема 1.2. Если Ьп 4- 0, А2Ьп > 0, ряд if сходится и
д{х) = Ък sin (кх), то для равномерной сходимости полиномов
Тп(д',х) необходимо и достаточно, чтобы nbn —> 0 при п —> сю.
Теорема 1.3. Если Ьп 4- О, А2Ьп > 0, ряд XfcLi if сх°дится и д(х) — Т,Т=іькп(кх), то последовательность полиномов Тп(д-,х) сходится при любом х. Равномерная сходимость будет на промежутке (5; 2л — 5) при любом достаточно малом 5.
Теорема 1.4. Если ак 4- О, А2а& > 0, Д3щ, > 0 и f(x) = + Y'kLi ак cos (кх), то последовательность полиномов Tn(f',x) сходится при любом х не кратном 2л. Равномерная сходимость будет на промежутке (5, 2л — 5) при любом 8 Є (0, л).
Теорема 1.5 Пусть ак 4- 0? А2ак > 0, АЗад, > 0, к — 0,1
линомов Tn(f-,x) необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд ~ + ак, и то же самое условие необходимо и достаточно для равномерной ограниченности полиномов Tn(f;x).
В § 2 главы 1 доказаны теоремы

а если еще и X > 3, то это равенство верно и при г = т.
Доказательство леммы 1. Так как при г < т — 1 будет к < 3s1 < 3sm~l < п + 1 < — (к + 3) + 2(п + 1) и A3a3si — геометрическая прогрессия, то из (1-31) следует, что найдутся такие Vj, vj G 0,1,—1, j — l-.oo, что

A2 al = A3a3si + Uj A3a3si+j = A3a3si

a3“3s‘ (*+
гДе |#fc| < 1- Если Л > 3, то к < 3sm < Xsm < n +1 < — (к + 3) + 2(n + 1), и аналогично Д2аl — A3a3sm 1 + , где |0| < 1.
Лемма 2. Пусть X G [l, f (l — j)]
1). Если Зв"1-1 + 1 < к < 3sm - 2(n + 1) - 3, то
A2ank = — Д3а3б.т ( 1 + -А_Л = L_ (i + _А_Л ,
k V «7 - 1 / З™ V 8*1-1}
a если к — 3sm — 2(n + 1) — 2,3sm — 2(n + 1), то
д2ап£_Л + -А_Л k 3is*!™ V s'y - l J
2). Если 3sm — 2(n + 1) < k < n — 2, то
A2 ank = Д3а35т — fc
Доказательство леммы 2. В условиях пункта 1) леммы 2 имеем
к + 2(n + 1) < 3зт - 2{п + 1) + 2(n + 1) = 3sm <
sm{6A - 3) - 4Лsm + 2Лsm - 3sm < 4(гг + 1) - (к + 3), и из (1.34) так же, как при доказательстве леммы 1, следует 1).