Многошаговые формулы для приближенного вычисления первообразных

• Автор: Михальченко, Галина Ефимовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Балашов
• Количество страниц: 102 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
§1.0 содержании диссертаии
§ 2. Обозначил
§ 3. Вспомогательные сведения
ГЛАВА 1. НОРМЫ ФУНКЦИОНАЛОВ ПОГРЕШНОСТЕЙ
§1.1. Интегральное представление функционалов погрешностей
§ 1.2. Верхние оценки функций, реализующих интегральное представление функционалов погрешностей
§1.3. Разложение функций, реализующих интегральное представле ние функционалов погрешностей, по степеням корней характе
ристического уравнения
§1.4. Нормы функционалов погрешностей
ГЛАВА 2. СХОДИМОСТЬ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
§ 2.1 .Верхние и нижние оценки норм функционалов погрешностей..59 § 2.2.Достаточные условия сходимости вычислительного процесса
ГЛАВА 3. АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
§3.1. Необходимые и достаточные условия асимптотической оптимальности
§ 3.2. Одношаговые формулы и последовательности функционалов с
пограничным слоем
§ 3.3. Интегральное представление функционалов погрешностей одношаговых формул
§ 3.4. Асимптотически оптимальные одношаговые формулы
ГЛАВА 4. ПРИМЕРЫ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ ФОРМУЛ
§4.1 .Примеры асимптотически оптимальных одношаговых формул.93 §4.2.Примеры асимптотически оптимальных двухшаговых формул
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
§ 1. О СОДЕРЖАНИИ ДИССЕРТАЦИИ
В настоящей диссертации исследуются многошаговые формулы для приближенного вычисления первообразных функций.
Задача вычисления интеграла с переменными границами изучена в меньшей степени, чем задача вычисления определенного интеграла. Вычисление первообразной с помощью многошаговых формул было рассмотрено В.И.Крыловым в монографии [1].
Им исследовались квадратурные процессы и разностные схемы, связанные с приближенным неопределенным интегрированием, с точки зрения их сходимости на конкретных функциях, как это обычно делается в теории разностных схем [2-5]. Результаты В.И.Крылова приводятся в § 3 настоящего введения.
В данной работе исследуются аналогичные вычислительные процессы, но формулировки и доказательства основных результатов работы связаны с теорией кубатурных формул. Возникновение этой теории связывают с работами С.Л.Соболева.
Одним из наиболее развитых направлений современной теории кубатурных формул является проблематика асимптотической оптимальности решетчатых кубатурных и квадратурных формул. В работах, относящихся к этому направлению, выводятся асимптотические представления норм функционалов погрешностей, строятся асимптотически оптимальные последовательности функционалов погрешностей.В связи с этим можно назвать работы Бесова О.В. [ 6-8 ], Поло-винкина В.И. [ 9-14 ], Рамазанова М.Д. [ 15-18 ], Шойнжурова Ц.Б. [ 19-22 ], Носкова М.В. [ 23-25 ], Бойкова И.В. [ 26-27 ], Корытова И.В. [ 28 ], Севастьяновой H.A. [ 29 ] и других.
Многие результаты теории кубатурных и квадратурных формул изложены в монографиях [30-32 ]. Ряд результатов в этом направлении опубликован в сборниках [33-36 ].
Наиболее близкими к тематике автора являются работы [ 9, 12, 14 ] В.И.Половинкина, который обобщил теорию асимптотически оптимальных формул с пространств ( у Соболева ) на пространства
типа L“(Q) (L“ [а, b] в одномерном случае).

Результаты В.И.Половинкина, используемые в диссертации, приводятся в § 3 введения.
Для изложения основных результатов диссертации сформулируем точную постановку задачи и дадим основные определения.
На интервале [а, со) ищем значение функции

У(х) = |Ц*)<И + у0 (1)

в узлах равномерной сетки :
х(=а +1у, 1 = 0,1
где у - постоянный шаг сетки.
Значения у0,у1
У1=у(х!)> 1 = 0,1
Вычислительный процесс задается формулой вида

У1 = ЕА-у + г]ГВ/(хм), 1 = г,г + 1
у=1 ]
Эта формула использует для нахождения каждого значения у{ г предшествующих значений функции у(х) и называется г- шаговой. Коэффициенты в ней не зависят от шага вычисления и выби-
раются таким образом, чтобы формула (4) была точна на многочленах степени ниже т. Другими словами, формула (4) имеет алгебраический порядок точности т.
Всюду предполагается, что рассматриваемые функции имеют конечные полунормы

В2 = At +2 А2 = (1 + л2) - 2Л2 =1~Л2.
Допустим, что (1.2.4) справедливо при г < к, то есть
Заметим, что в правой части этого равенства среди корней Л2
Рассмотрим Bk+l. Из (1.2.5) по теореме Виета [45, стр. 158] имеем
( к+1 У
Вм = Ax+2A2+---+(k + l)Ak+l = 1 + £Л Г2 ХЛ(+ЕЛ*Л>
V i-о J V 1=2 I ,т=1 J
к+1 к+ Л

Аг+1
+ з| ДАА.+ У АЛЛ —-к-1)‘(* +1) Л

I .т-2 I .т.п-2 J

+ 2]ЛЛ, ~ /Л1ЛтЛи+'"+(~1)кЛ2 Л+1 - 1~2]Л+2'{4_
t /п—2 t,mji=2 /=2 tjn
к к к
- Л,ЛтЛп++(-1)к 1/12 Лк - Лк+1 + Л+1 X Л ~ Л+1 X! +
) t— 2 t jri
++(-1)4 Л+1 = -Л+1
1-Ел + 24л,— +(-!)* Ч-'-л
V /=2 /,w=2 У
=-в* (! - Л.,)=О - А>-0 - А)(1 - А.,)
Мы получили равенство
£ы= О-A) (i-A)(i-A.,).