Вещественный метод интерполяции на парах банаховых решеток

• Автор: Узбеков, Роман Фатихович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 101 с.

ГЛАВА 1. Свойство /С— монотонности и его применение §1. Предварительные сведения
§2. К,— монотонные пары конечномерных пространств 24 §3. Односторонняя теорема Бойда
ГЛАВА 2. Интерполяционные свойства банаховых подпар
§1. К,— замкнутые подпары и относительные
пополнения
§2. /С— функционал на парах пересечений
§3. Интерполяция пересечений пространств
ЛИТЕРАТУРА
Возникновение теории интерполяции линейных операторов связано, прежде всего, с теоремами М. Рисса (1926г.) и Ж. Марцинкевича (1939г.). Однако, эти результаты относились к пространствам Лебега Ьр и близким к ним. Проблема интерполяции линейных операторов тесно связана с задачей построения "промсжуточных"простраиств в которых линейный оператор будет непрерывным на основании информации о его поведении в "крайних"парах пространств. Общие интерполяционные теоремы для семейств абстрактных гильбертовых и банаховых пространств были получены в работах Ж.-Л. Лионса, Э. Гальярдо, А.П. Кальдерона, Я. Петре, С.Г. Крейна. В последующие годы эта теория интенсивно развивалась и нашла глубокие, важные применения в теории функциональных пространств, уравнениях с частными производными, теории
рядов Фурье, теории приближений. Основные результаты теории ин-
,0,
териоляции были систематичеки изложены в книгах С.Г. Крейна, Ю.И. Петунина, Е.М. Семенова [14], Й. Берга, Й. Лефстрсма [12], X. Трибсля [39], К. Беннета, Р. Шарпли [22].
Среди разделов математики, испытывающих наиболее сильное влияние интерполяционных методов, с полным правом можно назвать теорию симметричных пространств (сокращенно СП). Эти пространства с предположением о полунепрерывности нормы, известные как "переста-

побочно инвариантные пространства"(сокращенно ПИП) были введены Г. Лоренцем в 1953 году. Первые публикации, связанные с представлением СП без указанного предположения, принадлежат Е.М. Семенову [36].
В последнее время был достигнут значительный прогресс в изучении вещественного К.— метода интерполяции операторов, важного но общности и приложениям способа построения интерполяционных пространств. Определенные итоги этого были недавно подведены в вышедшей монографии Ю.А. Брудного, Н.Я. Кругляка [28].
Диссертационная работа продолжает ряд исследований по теории интерполяции линейных операторов, относящихся к вещественному методу. Первая часть работы посвящена описанию одного класса точных /С-монотонных пар конечномерных пространств и вопросам, связанным с теорией интерполяции операторов слабого типа. Во второй части диссертации изучаются частные аспекты проблемы характеризации /С- подпар, то есть подпар банаховой пары, на которых вещественный метод интерполяции порождает нормы, эквивалентные тем, что он дает на самой паре, а также вопросы, касающиеся интерполяции пересечений "весо-вых"пространств Лебега Ьр(ю) с ядром интегрального функционала.
Основное содержание диссертации изложено в первой главе (второй и

С другой стороны,
(1.16)
поскольку для вогнутой функции ф{Ь) справедливо неравенство
Из условий (1.15) и (1.16) получаем, что положительная функция ф(Ь) эквивалентна наименьшей вогнутой мажоранте [14, с. 69], а значит эквивалентна квазивогнутой функции [14, с. 70]. Поэтому функция ф(Ь) будет возрастающей с некоторой константой С > 0, не зависящей ни от Iф, ни от £.
Рассмотрим теперь оператор Кальдерона 5(<т), где. а = [(А(ф), М(ф)),
{Ар, 1, £/р:СО)]
и заметим, что 5х*(^) < 5а;*(П), 0 < ^ < 1 в силу того, что
убывающая функция на [0,1].