Наилучшее приближение аналитических функций в пространстве Бергмана

• Автор: Лангаршоев, Мухтор Рамазонович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 88 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава I. Наилучшее приближение аналитических функций

§1.1. Общие сведения и вспомогательные факты

1. Пространство Бергмана Вр

2. Наилучшее приближение функций в пространстве Вр, 1 < р < оо

3. Неравенство Хаусдорфа-Юнга

4. Описание модулей непрерывности в пространстве Бергмана

ВР, 1 <Р< оо

5. Основная лемма

§1.2. О неравенстве А.А.Лигуна между наилучшими приближениями и модулям непрерывности высших порядков для классов функций, принадлежащих пространству Вр, 1 < р <
§1.3. О наилучшем приближении полиномами аналитических функций /(.г) € Вр, 1 < р < 2, структурные свойства которых определяются модулями непрерывности т—го порядка
§1.4. Наилучшие полиномиальные приближения аналитических
функций в пространстве Бергмана
§1.5. Наилучшее приближение аналитических функций /(г) £ Вр,
1 < р < оо, задаваемых модулем непрерывности первого порядка
§1.6.0 наилучшем приближении аналитических функций в весовом
пространстве Бергмана
Глава II. Точные значения поперечников классов аналитических функций в пространстве Бергмана В2
§2.1. Определение значения поперечников классов аналитических
функций в пространстве Бергмана В2
§2.2. Определение классов функций в пространстве Бергмана. Приближение классов функций
§2.3. Поперечники классов функций
Литература
Введение
Диссертационная работа посвящена нахождению точных значений различных поперечников компактных классов аналитических в единичном круге функций в пространстве Бергмана. Общеизвестно, что в экстремальных задачах теории приближения функций большую роль играют точные неравенства, позволяющие установить новые связи между конструктивными и структурными свойствами функций. Поэтому в последнее время интенсивно изучались неравенства, содержащие оценки величины наилучшего приближения функции посредством модуля непрерывности высших порядков в различных пространствах аналитических функций. Отметим, что наиболее подробно вопросы приближения аналитических функций и вычисления поперечников классов функций изучены в пространствах Харди. В этом направлении укажем на основополагающие работы К.И.Бабенко [3], В.М.Тихомирова [30], Л.В.Тайкова [29], Ж.Т.Шейка [44], В.И.Белого [4], М.З.Двейрина [13],
Н.Айнуллоева и Л.В.Тайкова [2], С.Б.Вакарчука [7], М.Ш.Шабозова [34], М.Ш.Шабозова и Х.Х.Пирова [38,39], М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [42], М.Ш.Шабозова и О.Ш.Шабозова [40,41].
В дайной работе мы изучаем вопросы наилучшего приближения классов аналитических в единичном круге функций алгебраическими комплексными полиномами в пространстве Бергмана Вр, 1 < р < оо
и вычисляем точные значения бернштейновского, колмогоровского, линейного и проекционного поперечников некоторых классов функций, определяемые модулями непрерывности высших порядков. Первые работы, в которых за-

2 h af
2m |(i _ cos nt)m[t)dt

h 2 Л
Г 2 m —m_ _ cos nu)m(t)dt f lo2 (zr fT t) B2rt)dt
l П + 1 i
®UP' дг,т г I — л v,m / I (1.2.5)
M Из (1.2.3) и (1.2.5) следует неравенство (1.2.1) и этим завершается доказательство теоремы (1.2.1). Из теоремы (1.2.1) непосредственно вытекает Следствие 1.2.1. Если для любых натуральных т, п = 1, 2
nLAvm=An™uj)> с1-2-6)
то справедливо экстремальное равенство

S} 2, г#(г). 1 j

в котором верхняя грань реализуется функцией fo(z) = zn G В2. Из равенств (1.2.6) и (1.2.7). как частные случаи, можно получить различные результаты.
Сформулируем ряд утверждений
Следствие 1.2.2. Пусть т = 1, п > г, ip(t) — luO sup
• — 7 „ , . 2 nn — smnh otir
/евг2
j uj2(zrTt)B2dt