Меры Пуассона-Дирихле и виртуальные подстановки

• Автор: Цилевич, Наталия Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 100 с.

Оглавление
Введение
Распределения Пуассона-Дирихле
Пространство виртуальных подстановок
Процесс Дирихле и преобразование Маркова-Крейна
Структура диссертации
1 Стационарные меры на пространстве виртуальных подстановок
1.1 Пространство виртуальных подстановок
1.1.1 Определение пространства виртуальных подстановок
1.1.2 Теория случайных разбиений
1.1.3 Описание центральных мер на пространстве виртуальных подстановок
1.1.4 Распределения длин циклов в порядке появления
1.1.5 Плотности дуг виртуальных подстановок
1.2 Распределения Пуассона-Дирихле и связанные с ними меры
1.2.1 Меры Ювенса
1.2.2 Меры Пуассона-Дирихле и СЕМ-распределения
1.2.3 Двупараметрическое обобщение мер Ювенса и Пуассона-Дирихле
1.3 Стационарные меры на пространстве виртуальных подстановок
1.3.1 Формулировка основной теоремы и ее следствия
1.3.2 Сведение к конечномерным условиям
1.3.3 Основная конечномерная лемма

1.3.4 Завершение доказательства основной теоремы в общем случае
1.3.5 Конечномерный аналог основной задачи
1.3.6 Сдвинутая проекция неприводимых характеров симметрических групп
2 Процесс Дирихле и преобразование Маркова—Крейна ТО
2.1 Процесс Дирихле
2.1.1 Классический процесс Дирихле
2.1.2 Обобщенный процесс Дирихле
2.2 Преобразование Маркова-Крейна
2.2.1 Одномерное преобразование Маркова-Крейна
2.2.2 Многомерное преобразование Маркова-Крейна
2.2.3 Тождество для моментов
2.3 Распределения средних от процесса Дирихле
2.3.1 Распределения средних от классического процесса Дирихле
2.3.2 Распределения средних от двупараметрического процесса Дирихле
Литература

Введение
Распределения Пуассона—Дирихле
Распределения Пуассона-Дирихле РИ(в) на бесконечномерном симплексе монотонных последовательностей, зависящие от положительного параметра 9, были введены Дж.Кингманом [46]. Важность изучения этих распределений связана с тем, что они возникают в самых различных областях математики и приложений. Опишем кратко основные задачи, приводящие к мерам Пуассона-Дирихле.
1. Теория вероятностей. Следующие четыре определения мер Пуассона-Дирихле выявляют их связь с различными задачами теории вероятностей.
а) Распределения Дирихле. Обозначим через Е„ = {(о
Г(Д) + + Рп) в0- Д
Г(/?о)...Г (Рп) °
по мере Лебега 9х ... с1хп на Еп. Обозначим через Е бесконечномерный единичный симплекс монотонных последовательностей
Пусть ... — вариационный ряд случайного вектора Є
Е„, имеющего распределение Дирихле с равными параметрами 0о — ... = вп = Д-. Обозначим через распределение последовательности (х|о), ("р 0) 0
б) Гамма—процесс. Пусть у {і) — гамма-процесс на положительной полуоси, т.е. процесс с независимыми стационарными приращени-
Е = < X — (хих2

рестановочна. По теореме де Финетти существует случайное распределение М на множестве {0,1
#{* Е [Щ : У; = к} ,Г1
Л, д = т(<4})’ * = 1’
откуда следует искомое утверждение.
Предел zj;nш) называется плотностью к-й дуги уровня п виртуальной подстановки ш.
Обозначим через Cj(w) множество элементов j-тo цикла подстановки гг € ©дг в порядке появления, и через с(ю) — количество циклов гг. Очевидно, что при j с(7гпгс) имеет место равенство
с,-Н = и А(П)М-
г€Су(1гпи>)
Отсюда следует, что для виртуальной подстановки и = (гщ, гсг, ) относительная длина }-го цикла в порядке появления при j с(юп) задается формулой
х,-Н
г'бО(«п)
Пусть д 6 ©„. Тогда подстановка р оставляет неподвижными элементы п + 1
САщ) = и 0{-1т)
геСэ{{кпи>)д)
при ] с((ттпю)д). Следовательно, для виртуальной подстановки и> = (гщ, гс2, - ) имеем
(1.14) Хид) = £ Д-п)Н при } < е(то„Д
геС,(шпд)