L-проблема Золотарева и аппроксимационные свойства двух сопряженных функций

• Автор: Гейт, Владимир Эммануилович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 224 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава I. КРУГ ИДЕЙ КОРКИНА-ЗОЛОТАРЁВА

§ 1. Метод максимальных полиномов в проблеме Золотарёва

§ 2. Формы максимальных полиномов наименьшего уклонения от нуля

чётного порядка

§ 3. Формы максимальных полиномов нечётной степени

§ 4. Решение задачи для случая трёх коэффициентов

§ 5. Единая форма максимальных полиномов, явно задаваемая их

старшими коэффициентами

Глава II. О ФУНКЦИЯХ С НАПЕРЕД ЗАДАННЫМИ СТРУКТУРНЫМИ

И КОНСТРУКТИВНЫМИ СВОЙСТВАМИ
§1. Построение и свойства
§2. Построение и свойства /2,/
§ 3. Поиск крайней функции /
§ 4. О функциях, являющихся вторым модулем непрерывности
Глава III. АППРОКСИМАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ
§ 1. Об условиях вложения классов
§ 2. Теоремы вложения относительно (С,а)- приближений
§ 3. Теоремы вложения для классов Боаса
Глава IV. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВЫХ СООТНОШЕНИЙ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ
§ 1. Критерии непустоты порядковых классов Б^^н“ к
§ 2. О порядке (С,а)- приближений на классе Н,(о))к

§ 3. Порядки верхних граней наилучших приближений и модулей гладкости r-тых производных на классах F(. и #,(«)<■... 124 § 4. Об условиях совпадения некоторых классов, задаваемых
порядковыми соотношениями
Глава V. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В ПЕРИОДИЧЕСКОМ
СЛУЧАЕ
§ 1. Об условиях вложения в класс функций с абсолютно сходящимся
рядом Фурье
§ 2. Критерий выполнимости равенства Парсеваля с ограниченной и
суммируемой функциями
§ 3. Теоремы об эквивалентности некоторых 0 - соотношений и
порядковых соотношений с г-тыми производными
§ 4. Характеризация последовательности приближений
средними Зигмунда
Глава VI. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЗОЛОТАРЁВА О ПОЛИНОМАХ Д„,4(х)
§ 1. Вспомогательные результаты
§2. Поиск множества Z?, («,4)
§3. Характеризация точек множества D2(и,4)
§ 4. Окончательное описание множества D2(n,4)
§ 5. Область максимальности £>4(и,4)
ЛИТЕРАТУРА к главам I.VI
БИБЛИОГРАФИЯ к главам II-V.

ВВЕДЕНИЕ
Остановимся сначала на результатах работы, относящихся к непериодическому случаю теории приближений, т.е. на главах I.VI. В них рассматривается восходящая к Чебышеву и Золотареву проблема отыскания всех алгебраических полиномов, наименее уклоняющихся от нуля в той или иной метрике, по известным значениям их старших коэффициентов, заранее заданных в некотором количестве /. В главе VI получено решение этой задачи в пространстве L[-1,1] при 1=4 на основе результатов главы I, к обсуждению которых теперь и приступим.
Пусть для произвольно заданных вещественных чисел А0 = 1,А1,...,Л1_1(1 >1) и целого nsZ, ищется вектор е R"*', для
которого L[-1,1] - норма полинома
« = К, (X, А ) = Xя*1 + А,х"+м +... + Амх+а,ха+... + a„tl (1)
имеет наименьшее значение. При /=1 решение опубликовали Коркин и Золотарев [1] в виде чебышевского полинома второго рода
тт / ч п / ч sin(« + 2)r
(х) = Rn. 1 (х) = - > 1 = arccosx.
2 sin Г
Это был первый пример тех экстремальных полиномов в (1), у которых число перемен знака на (-1,1) является максимально возможным, то есть совпадает с их степенью п + l. Они получили название максимальных полиномов наименьшего уклонения от нуля и обозначаются здесь через Л„т“(*>Л,Соответственно этому при 1=2 имеем (см.[12, 2, 4])
К.г {х, А,) = Untl (х) + (х) + (AJ2)2U„ (х), At < 1.
Особая роль максимальных полиномов состоит в следующем. При зафиксированном I > 1 все немаксимальные экстремальные в
Гл.1. §4. Решение проблемы для случая трех коэффициентов.

Наконец, дополнение в Я2 объединения двух уже построенных множеств обозначим Н,(п,3) = Я2(//,(я,3) + Я2(я,3)). При этих соглашениях имеет место [10,11] (см. ещё сноску на стр. 13), следующая
Теорема 4.1. Пусть 1 = 3 и произвольно заданы (Л,,Л2)е II1, а
Д,.з(*) = Я„„(х, А,, А2) - соответствующий им в (1.1) экстремальный
полином, тогда
1) при (Л,,Л2)еЯ,(я,3) имеем Я^,(х) = и п^(х)(х1 + Л,х + Л2 +-), где

<х) -чебышевский полином II рода;
3) для (Л,, А2) е II,(п.З) экстремальный ,(,г) = Я(х.р.д), где
положено р = Л,,ц = Л2; при этом
Доказательство. Опирается на критерий полинома Я(п"*,'] см. предложение 1.4 при / = 4 и следствие 1.2.
Плоскость всевозможных данных (Л,,Л2) е Л2 естественно разбивается (см. §1) на три попарно непересекающиеся между собой части Я2 = Д(я,3) + Д(я,3) + Д,(я,3), где (+) означает объединение множеств, а Д(я,3)- это множество всех точек (Л,,Л2), в которых экстремальный Я„.,(х,А1,А2) = ЯЦ'х,А,,А2), то есть он имеет ровно (п + /') перемен знака на (-1,1). Разумеется, Я<„113>(х,Л1,Л2) = Я;(х,Л,,Л2),т.е. Д,(я,3) - это область максимальности.
Теперь, как только мы докажем равенство Я,(п.З) = Д (я,3) (/ = 1,2), так сразу получим (ввиду следствия 1.2.) пункты 1), 2) теоремы 4.1. И тем самым будет найдена область максимальности, так как
2) для(А1,А2)еН2(п,3) Л„4,(*) = (Я„42(х) + стЯ„4|(ж) + ^—и„(х))(х + /1, -ст),

где <т = (2/1, -sgn/1,^М,2 -3(4Л2 + я + 1))/3;
я + 2- р1 + 4д
и„(х) +

Д, (и,3) = Я2 (Д (я,3) + Я2 (и,3)) = Л2 (//, (/7,3) + //2 (я,3)) = Я, (я,3), определения области II, (я,3).
Потребуется сначала следующая элементарная
ввиду