Индефинитные функции Шура и их свойства

• Автор: Андреищева, Елена Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 107 с.

1 Обобщённые функции Шура. Основные понятия и теоретические факты

1.1 Определение и общие свойства обобщённых функций Шура, Неванлинны и Каратеодори

1.2 Геометрия индефинитных пространств

1.3 Пространства Понтрягина и операторные узлы. Основной

объект исследования

1.4 Пример голоморфной оператор-функции, для которой ядро

и сопряжённое ядро имеют различное число отрицательных квадратов

2 Исследование некоторых вопросов аппроксимации обобщённых функций Шура в окрестности единицы

2.1 Постановка задачи. Теорема Крейна - Лангера

2.2 Преобразование Кэли - Неймана

2.3 Спектральный анализ унитарных и самосопряжённых операторов

2.4 О принадлежности вектора области определения оператора

2.5 Условия аппроксимации обобщённой функции Шура в окрестности единицы
3 Преобразование Шура для обобщённой функции Карате-од ори в индефинитном случае на окружности
3.1 Классический анализ Шура. Вспомогательные определения
3.2 Преобразование Шура для обобщённой функции Каратео-дори на окружности. Схема алгоритма
3.3 Основная граничная интерполяционная задача
3.4 Факторизация в классе функций
Литература

Конечномерные пространства с индефинитной метрикой впервые появились в работах учёных в конце XIX века в связи с запросами физики. Известно, что все законы механики Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Однако открытые в 1864 году Максвеллом уравнения распространения электромагнитных волн оказались неинвариантными относительно преобразований Галилея. Поиски формул перехода от одной инерциальной системы координат к другой, не меняющих вида уравнений Максвелла, привели к преобразованиям, называемым ныне преобразованиями Лоренца. В 1905 году А. Пуанкаре обнаружил, что преобразования Лоренца соответствуют повороту в четырёхмерном пространстве, имеющем три пространственных измерения и одно временное. В этом же году А. Эйнштейн опубликовал статью "К электродинамике движущихся тел", в которой заложил основы специальной теории относительности. В 1908 году Г.Минковский завершил построение четырёхмерной картины мира и на её основе создал соответствующую физическую модель.
С.Л.Соболев [30] в 1943 году, моделируя движение симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью, построил бесконечномерное пространство с индефинитной метрикой. В 1944 году появилась работа Л.С. Понтрягина [24], посвящённая самосопряжённым операторам в индефинитных пространствах (относительно индефинитной метрики). Дальнейшее своё развитие теория пространств с индефинитной метрикой и действующих в них операторов получила в работах М.Г.Крейна [19, 20],

В том случае, когда не только (, но и ( не является собственным значением оператора Л, замкнутым является также и линеал ran V" = {Л/ — C/}/edom^j а оператор V, определённый формулами (2.2.8), является изометрическим. Этот изометрический оператор V называется преобразованием Кэли - Неймана оператора А.
В частном случае, если оператор Л - самосопряжённый, то dom К = ran V — Пх, то есть У - унитарный оператор.
Подробное доказательство данного факта приведено в [17].
Пусть теперь К - изометрический оператор в Пх, причём известно, что при некотором е, ([е| = 1) линеал D = {Vg — eg}P6domK есть множество, плотное в Пх. Определим на линеале dom Л = D оператор А по формулам
f = Yi(Ug~eg), Af=1-(Ug + eg). (2.2.9)
Символически можно (2.2.9) переписать в видеЛ = г(У + eI)(V — el)~l.
Соотношения (2.2.9) определяют оператор Л однозначно. Оператор Л является эрмитовым оператором, так как
[АЛ/1 = ^([^,Ур]+ё[Уд,д] -е[д,Уд] - [g,g]) = ~^[Vg,g]-e{g,Vg)
есть вещественное число.
В частном случае, когда У - унитарный оператор, из формул (2.2.9) вытекает, что Л - самосопряжённый оператор.
Заметим, что все произведённые выше рассуждения остаются в силе, если рассмотреть несколько более общее преобразование
/ = т^ЧУя - ід), А! = (2.2.10)
где ( - произвольное невещественное число.