Максимальная сходимость рядов Фурье по классическим ортогональным многочленам

• Автор: Арутюнян, Роберт Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 89 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
Глава I. МАКСИМАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ - ЯКОБИ
1.1. Некоторые свойства многочленов Якоби
1.2. Оценки функций Якоби второго рода
1.3. Максимальная сходимость рядов Фурье - Гегенбауэра
1.4. Максимальная сходимость рядов Фурье - Чебышева
1.5. Максимальная сходимость рядов Фурье - Лежандра
1.6. Общий случай рядов Фурье-Якоби при разных параметрах
1.7. Случай полюсов на каноническом эллипсе
Глава 2. МАКСИМАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ - ЭРМЙТА
2.1. Некоторые свойства многочленов Эршта
2.2. Оценки функций Эрмита второго рода
2.3. Максимальная сходимость рядов Фурье - Эрмита
2.4. Случай полюсов на границе канонической области
2.5. Обратная теорема о скорости весового приближения
на всей оси
Глава 3. МАКСИМАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ - ЛАГЕРРА
3.1. Некоторые свойства многочленов Лагерра
3.2. Оценки функций Лагерра второго рода
3.3. Максимальная сходимость рядов Фурье - Лагерра
3.4. Случай полюсов на границе канонической области
3.5. Обратная теорема о скорости весового приближения
на полуоси
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
В известной монографии Дж.Уолша [ 44 ] изложены простейшие результаты о максимальной сходимости последовательности многочленов, приближающих данную функцию в некоторой ограниченной замкнутой области при условии, что эта функция аналитическая в более широкой так называемой канонической области ( проблема»).
Пуеть на плоскости комплексного переменного 2 дана конечная односвязная область (ф , ограниченная замкнутой жордановой кривой £* . Обозначим через X) внешность кон
тура Г и пусть функция V/ = ф(г) отображает область Д) на область }л// >1 при обычных условиях ф(*><=>) - о© и ф) > о , а 2 = фЫ) ~ обратная функция. Как обычно, через /я обозначим кривую, которая при отображении V/-переходит в окружность /м/= (>1 Тогда внутренность кривой называется канонической областью, соответствующей
области (ф и числу
В монографии Дж.Уолша доказано, что если У"7 есть пра -вильная аналитическая кривая, а функция /(я) аналитическая в канонической области , непрерывно дифференцируема Р
раз в замкнутой области , причем Z в Сгъ » то существует такая последовательность многочленов { 0ь (%)} ’ что выпо-нняется Условие
I (2) — йц.(ъ) I — р+оС * > (°*т)
К Ю.
где постоянная С© не зависит от !Ъ и
В дальнейшем этой задачей занимались С.Н.Мергелян, Б.А.Вострецов, А.В.Игнатьева, В.И.Смирнов, Н.А.Лебедев, В.А.Куприн ,

П.К.Суетин и другие математики. При этом основные обобщения и усиления неравенства ( 0.1) проводились в следующих надрав -лениях.
1. Вместо аналитической кривой Р рассматривались глад-
кие кривые с уменьшением порядка гладкости, спрямляемые кривые
и даже случаи произвольной области (0 без условий на ее
границу Г
2. Вместо условия оС ъ Сг% рассматри-
вались случаи, когда функция (2) только ограничена в области Сг$ , либо принадлежит там классу , либо имеет
на контуре 1% полюсы определенного порядка.
3. В качестве многочленов Ш*)] применялись частич -ные суммы рядов по многочленам Фабера и рядов Фурье по ортого -нальным многочленам.
4. Во многих случаях определялась форма правой части аналога неравенства ( 0.1 ) в зависимости от граничных свойств функции /<£) в окрестности контура
5. В отдельных частных случаях и примерах определялись ко -нкретные постоянные в неравенствах вида (0.1 )
Подробный обзор всех этих результатов содержится в монографии П.К.Суетина [ 41]
Приведем некрторые наиболее характерные формулировки.
Теорема А. Веж для кривой Г выполняется условие повы -шейной гладкости
А = Й (о.2)
1 1Н
а функция /(г) - аналитическая в области 0 и непрерывная
в замкнутой области 0К , то для остатка ряда по многочленам ' Фабера имеет место неравенство

Применяя интегральное неравенство Гельдера к формуле (1.3.3) при сС */& получим
А(ос},сс) ]
, с/сб)ЧЕ(/ЫГя)[А
(Н*'-!)7' Я*1*1 (ЯЯ'Л 1г-зс1*3
Тем самым, теорема 1.3.4 доказана.
Рассмотрим теперь случай, когда функция /(г; является интегралом типа Коши е функцией распределения Ц*(0 на контуре Гк , т.е.
Делая замену переменных : ( на Д и 2 на в
формуле (1.3.24) получим
Х) = Ж I 1ЩГ' Х& 11 (1.3.25)

В этом случае формула (1.3.3) остается справедливой, но е заменой функции /(г) на функцию V7#) , однако вводить
многочлены | Бь(2)] и использовать величины 1еЛШЗ здесь уже нельзя.
Теорема 1.3.5. Если выполняется условие 1 () -Мз. при Е е £я , то для я € [-1; 1] имеет место неравенство
А|Е.6с;|;с/,л)| й К5
Доказательство этой теоремы следует из формулы (1.3.3)