Линейно-метрические свойства пространств И. И. Привалова голоморфных функций нескольких комплексных переменных

• Автор: Субботин, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 с.

Введение
Цель настоящей работы состоит в исследовании линейно-метрических свойств некоторых (.-пространств голоморфных функций нескольких комплексных переменных. Основное внимание уделено пространствам, введённым в одномерном случае И. И. Приваловым [8, гл. IV §10] и называемым в дальнейшем пространствами Привалова. В п-мерном комплексном пространстве Сп, п 1, единичный шар Вп = {г = (гх, , гп) € Сп | ]д|2 = С-гЦ2 + ... + и!2)12 < 1} и единичный поликруг I/“ = {г € С" | Ыш = тах || < 1} обозначим
единым символом б. Пусть Г обозначает границу Шилова области (3; то-есть Г есть единичная сфера 5„ — {г € Сп | Щ2 = 1} в случае С = Вп и есть тор Тп = {г € Сп | гг = ... = |гп| = 1} в случае О — ип, и пусть а обозначает естественную инвариантную вероятностную меру на Г; то-есть а есть нормированная площадь сферы если О = Вп, и декартово произведение нормированных линейных мер Лебега на окружностях || = 1, к = 1,п, в случае (3 = 11п.
Классом Привалова IV9 (д > 1) назовём множество всех голоморфных функций / в области (3, удовлетворяющих условию
в котором 1п+ а = пгах(1п а, 0), если а > 0, и 1п+ 0 = 0. Как и в одномерном случае (п = 1), устанавливается, что классы (д > 1) содержатся в классе Островского — Неванлинны V1, определяемом условием (В.1) при д = 1, и каждый из них, в свою очередь, содержит все классы Харди Нр (р > 0) (см. И. И. Привалов [8] в случае п = 1 и X. О. Ким, Б. Р. Чоэ [15], с учётом утверждения е) на стр. 4, — в общем случае). Более того, V9 (д > 1) содержатся в собственном подклассе класса Лг1 — подклассе Смирнова И,, состоящем из всех голоморфных в С функций /, для которых семейство функций {1п+ |/(г7)|, 7 е Г}ог<1 имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы на множестве Г. Наряду с классами IV5 (д > 1) мы изучаем введённые в статье [27] классы М9 (д > 0), состоящие из всех голоморфных в области (3 функций /, для которых семейство функций
(В.1)

{К |/(гу)|, 7 € Г}ог<1
(В-2)

имеет интегрируемую мажоранту на Г.
Непосредственная проверка показывает, что классы (д > 1) образуют комплексные линейные пространства с операциями поточечного сложения и умножения функций на число. Естественная метрика в классах И4 (д > 1) вводится посредством функции
рМ9) = 1-9н', /,»еЛР, (В.З)

1/1*™ = ёпр 0<г<1
11п9(1 + |/(г7)|) о’й'у)

, /еЛР,
и метрика (В.З) не является единственной метрикой, изучаемой в настоящей работе.
В первой главе диссертации исследуются граничные свойства функций классов (д > 1). Известно (см. [69] и [14]), что для любой функции / из класса IV1 радиальный предел
/*(7) = Пт /{п), 7 е Г, (В.4)
Г—>1
существует почти всюду на Г (в частности, этим свойством обладают функции / е ./V13 (д > 1)). Основной результат этой главы, помещённый в п. 1 § 2, утверждает, что голоморфная в области С функция / принадлежит классу № (д > 1) в том и только в том случае, когда выполняется одно из следующих условий:
а) / € ЛГ» и 1п+|/*| € £(Г, сг), где символом £(Г, а) обозначено пространство функций, интегрируемых на Г по мере сг;
б) у функции / почти всюду на Г существует /*, определяемая формулой (В.4), для которой 1П+ |/*| € £(Г,сг) и
Ч1/(2)К IР(г,0КП0, геС,

где Р обозначает ядро Пуассона области (?;
в) у функции / почти всюду на Г существует /*, для которой 1п+ |/*| € £(Г, сг) и
г < 1;

г) у функции / почти всюду на Г существует /*, для которой Ц. |/*| £ ЦТ,а) и
lim_/In+ f(n) д) семейство функций (В.2) имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы на Г;
е) / £ М®.
В основе доказательства этого результата лежит применение свойств комплексного интеграла Пуассона, полученных в статье М. Столла [57] в связи с изучением плюрисубгармонических функций.
В §3 первой главы для функций пространств № (q > 1) доказан многомерный логарифмический аналог классической теоремы Риссов в следующей форме:
1™_/ ln9(l + f(rj) - /*(7)|) aidj) = О г
для любой функции / е N9 (q > 1). Из этого результата следует, что для / £ Nq (q > 1) функции fr(z) = f(rz), z € G, сходятся к / в метрике рт при г —> 1—, так что многочлены от п комплексных переменных плотны в метрическом пространстве (N9,pNg) и № — сепарабельно.
Во второй главе диссертации изучаются линейно-топологические свойства метрических пространств N9 (q > 1). Основным результатом этой главы и одним из основных результатов диссертации служит утверждение, что каждое пространство N9 (g > 1) образует (F)-алгебру; то-есть такое (.-пространство, в котором введена алгебраическая операция умножения, превращающая его в алгебру и непрерывная относительно метрики этого пространства. Это утверждение доказано в § 2 гл. II. Его доказательство опирается на новые оценки равномерного роста функций классов N9 (g > 1), помещённые в § 1.
В третьем параграфе этой главы полностью описаны ограниченные и вполне ограниченные множества в пространствах N9 (q > 1). А именно, доказано, что множество X С Nq (q > 1) ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено в метрике рч и семейство функций {К 1/*(т)|, 7 € Г}/ех имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы на Г. Для вполне ограниченных множеств справедлива такая характеристика: множество X вполне ограничено в пространстве N9 (q > 1) тогда и только тогда, когда оно ограничено и семейство функций {/*(7), 7 £ Г}/eJc относительно компактно в метрике сходимости по

означает, что последовательность (Д) сходится к функции / по метрике Рмя и, тем самым, полнота пространства Ы9 доказана.
Таким образом, для класса № (д > 1) выполнены все свойства (К)-простракства и первое утверждение теоремы доказано. Второе утверждение теоремы доказано ранее, в следствии из теоремы п. 1 §1. Этим теорема полностью доказана. □
2. Классы Ы9 (д > 1) как (К)-алгебры. Следуя М. Столлу (см. [59, теорема 4.2]), утверждение теоремы предыдущего пункта можно усилить.
Теорема. Класс Ж9 при любом д > 1 является (К) -алгеброй относительно метрики рня; то-есть в (Р)-пространстве IV9, д > 1, можно ввести алгебраическую операцию умножения, непрерывную относительно метрики рцч и превращающую линейное пространство № в алгебру.
Доказательство. Согласно теореме предыдущего пункта, (.-пространство Ыч, д > 1, является линейным пространством над полем С. Кроме того, в доказательстве упомянутой теоремы было установлено свойство замкнутости пространства Д9 относительно операции поточечного умножения функций. Непосредственно проверяется, что введённая операция умножения вместе с операциями линейного пространства превращает его в функциональную алгебру. Таким образом, остаётся лишь проверить, что операция умножения функций в ЛГ9 непрерывна относительно МетрИКИ ркя.
Для этого заметим, что для любых последовательностей функций (ДДеМ и {дк)ке® из № и любых функций /, д € IV9 разность Дд*, - /д можно представить в виде Дед,-/# = {1к-1)(9к~9)б-/(дк-д)+д(/к-/}, к € N. Согласно неравенствам (II.5), имеем
fk9k _ 1ят < |Д - 1яя + |дк - д|лгз + 11(дк ~ д)|№ + | Поэтому, чтобы доказать непрерывность умножения по совокупности аргументов (то-есть, что Ддк -> /д по метрике рц«, если Д -> / и 9 по метрике рт), достаточно доказать, что операция умножения непрерывна по каждому аргументу в отдельности (то-есть, что Дд —» /д И /9к /д ПО метрике рт, если Д -Э / и дк -э д по метрике рт). Проверим, например, непрерывность умножения по второму аргументу, откуда, в силу коммутативности умножения, будет следовать его непрерывность и по первому аргументу. Покажем, что если / € IV9 и последовательность (дк)кеN С Ыч сходится к функции д 6 И9 по метрике рия, то