Сходимость и оценки коэффициентов разложений по ортоподобным системам

• Автор: Родионов, Тимофей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 109 с.

Оглавление
Введение
1. Ортоподобные системы
2. Обобщенные ортоподобные СЙСТбмЫ
3. Цель работы
4. Обзор литературы
5. Основные результаты
Глава 1. Ортоподобные системы в пространстве Ь2
§ 1.1 Ортогонализация продолжением на более широкое
множество
§ 1.2 Существование подсистем сходимости почти всюду
§ 1.3 О перестановках рядов по обобщённым ортоподобньгм
системам
Глава 2. Коэффициенты и разложения //-функций по ортоподобным системам
§ 2.1 Постановка задачи
§ 2.2 Оценки типа Хаусдорфа - Юнга - Рисса и Харди -
Литтлвуда - Пэли
§ 2.3 Другие оценки
Глава 3. /Х-функции и отдельные классы ортоподобных систем
§ 3.1 Оценки для дискретных систем
§ 3.2 Оценки для интегрального всплескового преобразования
§ 3.3 Оценки для преобразования Габора
Литература

Введение
Отправной точкой настоящего исследования можно считать тригонометрическую систему {етх}пе%, х Е (—7г,7г], всевозможные свойства которой обстоятельно изучались (см., например., [3], [11], [12], [45],
колебании струны и Фурье о распространении тепла. Взяв за основу дальнейшего обобщения свойство ортогональности функций системы, мы перейдем в весьма богатую теорию ортогональных рядов (см., на-
придём к понятию фрейма, т. е. такой системы Хп Е С, на
(—7,7], что существуют числа 0 < А, В < оо, для которых выполнено
при всех / 6 Ь2[-7,7] [51, с. 343]. Это понятие тут же обобщается на случай произвольного гильбертова пространства Я [51, с. 358], [6, с. 99], [34, с. 67]: семейство { Для всякого фрейма существует двойственный ему фрейм {<Рп}, С ПОМОЩЬЮ которого МОЖНО восстановить / ПО {(/, (рп)}'- / = XX/1 Фп)Ч>п

ПЄ2 _
лМн«Ек/.^)12« ви/Ин-

(см., напр., [6, с. 101-104]). Фрейм называется жёстким [6, с. 99], если А — В, т. е.
|1ЛИ, = ^£|и>п)|г' («л)

Тогда упрощается и восстановление
/ = (0-2)

ОО ГТС\Т/-Л1ТТ1ГГ ПТ1 1ТЛ СП О) Т> ТЧ^^ЛФЛ ЩЛ1 гг о о т) о юг тт о<» / л'П'т ло л и л п а, ги л, / клт
х и |/сиис/а ^ исииисишх п/игли игг/< г 1/1/^ V > «м>»уи1 » ито»» V*.
Жёсткими фреймами являются все ортонормированные базисы (ОНБ) гильбертовых пространств, т. е. полные в них ортонормированные системы (ПОНС), но не все жёсткие фреймы являются ОНБ. Приведём простой (даже конечномерный) пример из [б, с. 100]: Н — С2 или К2, ц> 1 = (0,1), <р2 = (-^,-А), <р3 = (^,-|), А здесь равно 3/2. Фреймы и, особенно, жёсткие фреймы обладают свойствами, сходными со свойствами ортонормированных систем (ОНС), — см., например, [51, с. 358-359], [6, с. 100-105].
Преобразование Фурье

1 Г „, Ч гЛг
= f(x)e~^ dx , Л £ №,

задаваемое системой функций {егЛг}дек — континуальным аналогом обычной (дискретной) тригонометрической системы, обладает хорошо известными свойствами ||/||2 = Ц-Д/Иг (равенство Планшереля) и

f(x) = -^= f (Т f)(X)etXx dX (восстановление в L2(Ж.)). От него ведёт

своё происхождение оконное преобразование Фурье или преобразование Габора (см. [52], [6, с. 71], [34, с. 60-61], [20], [54, с. 317]). Для д £ Г2(Ж), ||р||2 > 0, полагаем дш,н{х) — егшхд(х — К) (функции, называемые иногда когерентными состояниями), а само преобразование задаётся формулой
(Tgf)(u;,h) = J f{x)gu
(х) dx.

Приведём одну из таких формулировок, положив для последовательности С = {с*}^!
■ лдс) = (X ыЧ"'г>я<~2)*)

Теорема 3.2. Пусть последовательность положитель-
ных чисел удовлетворяет оценке

^ — для всех z > 0. (0.23)

UkM^>z
Тогда
1) если s < р ^ 2, а / Є ТР(Х, и), то
Jr,p(f) ^ A(r,p,B)\f\py,
2) если 2 ^ р < г и Л,р(с) < оо, то существует такая функция

/ Є LP(X, v), чт.о f = lim cjVj 6 {^’(X^is), и
к—їоо y_|

Благодаря связи {и*,} и {Мк} через условие (0.23) теорема 3.2 может давать более точные оценки при р < 2 и менее ограничительные условия прир > 2 в сравнении с классической теоремой XII. Соответствующий пример рассмотрен в том же § 3.1. В работе [18] С. А. Кириллов показал существенность условия монотонности {М/с}'^=1 в теореме XII, а именно, из сумм функций Уолша по некоторым специальным пачкам он построил такую ОНС {(рк}Т=1 С Б°°[0,1], что для любого р > 2 найдется числовая последовательность с = для которой
ОО . /
4>(с) = (Е Ыркр~2мг2) р<°°,

S и2М