Интегральные операторы с полиномиальными финитными ядрами и их применение в некорректно поставленных задачах

• Автор: Шишкова, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 109 с.

1 Интегральные операторы с полиномиальными финитными
ядрами
1.1 Операторы с полиномиальными финитными ядрами в задаче
приближения гладких функций вместе с производными
1.2 Решение задачи Колмогорова - Никольского на некоторых
компактных классах
1.3 Построение расширенных операторов
2 Применение интегральных операторов с полиномиальными
финитными ядрами в теории некорректно поставленных за-

2.1 Задача восстановления функции вместе с производными
2.2 Обратная задача для линейного дифференциального уравнения п—го порядка
2.3 Регуляризация уравнения Абеля в пространстве С1 [0,1]
2.4 Регуляризация одного класса уравнений Вольтерра I рода в
пространстве С9[0,1]
Литература

Диссертационная работа посвящена исследованию одного семейства интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами, построению на базе этих операторов методов решения некорректно поставленных задач и нахождению оценок погрешностей полученных решений.
В начале XX века французским математиком Адамаром были сформулированы три условия (условия корректности по Адамару), которым должна удовлетворять каждая задача, имеющая разумную физическую интерпретацию.
Определение 0.0.1. Математическая задача называется корректно поставленной (корректной) , если её решение 1) существует, 2) единственно и 3) непрерывно зависит от начальных данных.
Последнее требование, естественно, предполагает, что исходные данные задачи и ее решение являются элементами некоторых метрических пространств. В то время, как первое и второе требования корректности характеризуют математическую определенность задачи, третье требование обусловлено тем, что в реальных задачах математической физики исходные данные получаются в результате измерений и поэтому всегда бывают заданы приближенно.
Поскольку при нарушении условия 3) сколь угодно малые погрешности исходных данных могут привести к сколь угодно большим изменениям в решении, было высказано мнение, нашедшее широкое применение в литературе (см., например,[1], [36]), что задачи, не удовлетворяющие условиям 1) - 3) и называемые некорректно поставленными задачами, практически не интересны, физически бессодержательны и в принципе не могут быть

решены. Однако, как показали дальнейшие исследования, неустойчивые задачи возникают при описании многих реальных физических явлений ( см.[26], [44], [21]) в геофизике, гидродинамике, гидромеханике, астрономии, спектроскопии. Методам решения некорректных задач посвящены основополагающие работы А. Н. Тихонова, М. М Лаврентьева, В. К. Иванова (см. [43], [26], [27], [19], [21]), а также исследования В.Я. Арсенина, В.А. Морозова и многих других авторов (см. обзор [34], [45]).
В дальнейшем мы будем понимать некорректность именно в смысле отсутствия непрерывной зависимости решения от исходных данных, а существование и единственность будем предполагать a priori.
Изложим базовые определения, результаты и методы теории некорректно поставленных задач, используемые в диссертационной работе.
Приведем общую постановку задачи приближенного решения уравнения первого рода.
Пусть Х, Хч - банаховы пространства. Рассмотрим уравнение
Аи = /, (0.1)
где А - линейный ограниченный оператор, действующий из Х в X?, и такой, что А-1 существует, но неограничен.
Обозначим через и - точное решение, через / - точную правую часть уравнения (0.1). Пусть правая часть / задана ее 5-приближениями fs в метрике пространства Хч: Ц/j — f\x ^ А Требуется построить по fs последовательность элементов us такую, что ||и$ — n||Xi —> 0 при 8 —> 0.
К такой задаче сводится ряд важных задач математической физики, вычислительной математики, теории функций, теории интегральных уравнений, а также многие прикладные задачи.
Определение 0.0.2. Методы решения уравнений I рода называются методами регуляризации и состоят из двух принципиальных моментов:

I (~1)р ХГ^ л2р+5
4(* + 1) £ I ’
причем, в последней сумме степень Л/ нечетная, следовательно, по (1.27) эта сумма равна нулю, то есть
/ чР+2 Г-11Р 2(*+№+1>
(СГ2) Е (1.35)
ч=х /=1 т
Таким образом,
г_ 1^+1„М2 М 2(*+1)2(*+1)
я,ра(х) = V-.-L.P- .1 £ (_1 уС{С1{к_8) £ Е ст/- ех^~х,)х
~Г . я=0 *=1 т
к оо 2г'+1+р
Х 2("1ГСг 1? М» - «) + 2« + 1)х

2(*+1)

4; (2л‘ + р)(2] + 2(к - я) + 1) 2(* + 1)
[*“*] |'_1'ИГ'«Г^ 2(^+1) 2(^+1)
^ (р + 1)(р+2)(2(*-»)+3)
з=0 ' ' 4 / V / / т
„«у- 4 6 2(-1)*+»+м1
‘ ” 2(к — п) + 3 (р+ 1)(р + 2)
(-1)3^(^2(Л-я) у. (-1)П(Д ((С^Л”>2 ,г ,
-2- 2(к-з) + 32-; 2(* - п) + 3 ДЬ* 1,

з=0 _ч"" ~ п=о
..4 ,
а4+
{=х
7)=Х
+0(сг) = д^(а:)а4 + 0(аь). (1.36)
Обозначим
я ,, 2(-1)«^мг^д1 (-1)*сгс?сь_.)
Як'~ ~ (р+1)(р + 2) Е 2(* - в) + з х

Е5(Шз(Н+2)Г2«->
2(-1)к+Р+1А2к

£=* (р+1)(р+2)
Т)=Х