Голоморфные отображения римановых поверхностей и их дискретные аналоги

• Автор: Медных, Илья Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 122 с.

Оглавление
Введение
1 Предварительные сведения
1.1 Римановы поверхности и автоморфизмы
1.2 Общие свойства голоморфных отображений
2 Решение проблемы де Франкиса для поверхностей минимальных родов
2.1 Классификация голоморфных отображений с точностью
до эквивалентности
2.1.1 Классы эквивалентности голоморфных отображений
2.1.2 Основные результаты о числе классов эквивалентности
2.2 Классификация голоморфных отображений 5з на
2.2.1 Инварианты групп автоморфизмов и голоморфных отображений
2.2.2 Полная классификация голоморфных отображений
2.2.3 Верхняя оценка на число голоморфных отображений

3 Нерегулярные голоморфные отображения поверхностей рода четыре
3.1 Регулярные и нерегулярные голоморфные отображения . .
3.2 Классификация нерегулярных голоморфных отображений .
4 Дискретные аналоги теорем Фаркаша и Акколы
4.1 Графы и гармонические отображения
4.2 Накрытия и поднятия гомеоморфизмов
4.3 Элементы топологической теории графов
4.4 Теорема Фаркаша для графов
4.5 Теорема Акколы для графов

Введение
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы.
Теория римановых поверхностей возникла на основе классических работ Римана и Гурвица в конце 19 — начале 20 веков. Первоначальное определение римановой поверхности давалось в терминах разветвленных накрытий над расширенной комплексной плоскостью (сферой Римана). Позже понятие разветвленного накрытия естественным образом переросло в понятие голоморфного отображения одномерного комплексного многообразия (римановой поверхности). При этом выяснилось, что образом такого отображения может быть не только сфера, но также любая другая римаиова поверхность. Частным случаем голоморфного отображения является конформный автоморфизм римановой поверхности. Со времен Гурвица [24] известно, что порядок группы конформных автоморфизмов римановой поверхности рода д > 1 не превосходит величины 84(д — 1). Группы, для которых достигается верхняя оценка, называются группами Гурвица. Они являются предметом изучения различных
вание. Выбирая T(z) = jvj, получим f(z) = рТ-} ■ Без ограничения общности, можем считать, что z3 = ~zJ+4, j = 1,2,3,4. Учитывая, что неподвижные точки 7/ равны 0 и оо, положим v3 = f(zj), j = 1,2,3,4, v$ = /(0), и vg = /(00). Непосредственными вычислениями убеждаемся, что уравнение и2 = (v — Vi)(v — v2)... (v — vg) римановой поверхности S2 записывается в виде
и2 = (v2 — 1)(и4 — v2 + 1).
По классификации Больца (Таблица 1) группа автоморфизмов 52 изоморфна В4.
Поднимая / : Оз —> 02 до отображения / : S3 —> S2 по указанному в предыдущей главе алгоритму, получим
(«.«) =/К*) = ((^1)3“. РТТ)-
1Ь. Пусть теперь 7/ : г -> i. В этом случае в качестве / удобно выбрать следующее отображение f{z) = | . Неподвижными точ-
ками 7f являются ±1. Упорядочим корни Zi,..., zg таким образом, что = v 3 = 1,2, 3,4. Тогда v, = f(z}),j = 1,2, 3,4, = /(-1), v6 =
/(1). При этом, уравнение римановой поверхности S2 имеет вид
и2 = (v2 - 1)(д4 - т2 - 0.75).
Поднимая / : Оз —> 02 до отображения римановых поверхностей / : 5з —» S2, получим