Сильные решения бесконечномерных линейных стохастических дифференциальных уравнений

• Автор: Рыбникова, Татьяна Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 61 с.

Введение.

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Стохастические уравнения в бесконечномерных пространствах — популярный объект исследований последних десятилетий. Это вызвано, с одной стороны, общим развитием бесконечномерного анализа и теории стохастических уравнений, и, с другой стороны, необходимостью описывать случайные явления, изучаемые в химии, биологии, экономике, теории управления и характеризуемые бесконечным числом параметров или параметрами, бесконечномерными по своей природе (например, принимающими значения в функциональных пространствах) .
Первые результаты о стохастических уравнениях в бесконечномерных пространствах были получены в 1960-е годы в работах В. В. Баклана ([2]), Ч. Л. Чантладзе ([21]), Л. Гросса ([29]), Ю. Л. Далсцкого ([9], [8]).
Фундаментальные вопросы существования и единственности решения при различных условиях ставились и разрешались многими авторами в 70-х и 80-х годах (см. [23], [28], [19]), они обсуждаются в литературе и в последние годы (см. [27], [34], [24]).
Бесконечномерным стохастическим уравнениям посвящена обширная литература. Написано несколько монографий: Я. И. Белопольской, Ю. Л. Далецкого [3], Д. Да Прато, Д. Забчика [27], Б. Л. Розовского [16], А. В. Скорохода [19]. Отдельные вопросы, связанные с такими уравнениями, обсуждаются в книгах Ю. А. Далецкого, С. В. Фомина [10], А. А. Дороговцева [11] и X. Го [7].
Однако даже для линейных бесконечномерных стохастических уравнений во многих случаях остаются открытыми вопросы существования и единственности решений.
Линейные уравнения в бесконечномерном случае исследовались, в основном, в банаховых пространствах. Отметим, что в банаховых пространствах большая часть работ посвящена уравнениям с неограниченным оператором. К таким уравнениям приводят линейные стохастические дифференциальные уравнения с частными производными. Их можно записывать также как уравнения с непрерывными операторами, но

уже в более сложных (ненормируемых) функциональных пространствах. Соответствующие приближенные уравнения в конечных разностях, заменяющие уравнения в частных производных, близки к тем, которые рассматриваются в данной работе. Отметим, что линейные стохастические уравнения в конечномерном случае исследованы в монографии1.
Во многих приложениях приходится рассматривать бесконечные системы стохастических дифференциальных уравнений вида

dXn{t) = dWn(t) 4- '^2
Такие системы уравнений можно трактовать как линейные стохастические дифференциальные уравнения в пространстве К°° всех последовательностей. В диссертации, в основном, исследуются вопросы существования и единственности сильных решений линейных стохастических дифференциальных уравнений в пространстве К°°. Нетривиальность вопроса связана с тем, что пространство И00 небанахово. В банаховых пространствах обыкновенное дифференциальное уравнение
Xt) = AX(t) + f(t), Х(0) = Хо, (0.1)
и стохастическое дифференциальное уравнение
dX(t) = AX{t) dt + f(t) dt + d£(£), JsT(O) = X0, (0.2)
где A - непрерывный линейный оператор, a £(£) - непрерывный (или непрерывный в среднем степени р) процесс однозначно разрешимы для любого начального условия. В ненормируемых локально выпуклых пространствах, даже в полных метрических, ситуация кардинально меняется. Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение и стохастическое линейное дифференциальное уравнение могут быть неразрешимы или разрешимы неоднозначно (см. примеры в [25]).
Существование слабых решений некоторых специальных нелинейных уравнений на ВС° и слабая единственность для широкого класса начальных условий доказаны в работе [34].
Вопросы существования и единственности сильного решения стохастического уравнения в пространстве К00 до сих пор были изучены мало. Ряд результатов в этом направлении имеется в работах [25] и [13], о чем будет сказано ниже.
1Аратпо М. Линейные стохастические системы с постоянными коэффициентами. Статистический подход. Москва, Наука, 1989.

Цель работы. Исследовать условия существования и единственности решения линейных стохастических дифференциальных уравнений в пространстве К°° и их приложения, в том числе, к нелинейным уравнениям в пространстве Ж°°.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Доказано существование сильного решения линейного автономного стохастического дифференциального уравнения в пространстве М°°. Найдены необходимые и достаточные условия единственности. Приведен пример уравнения, имеющего бесконечно много решений. Найдены необходимые и достаточные условия непрерывной зависимости решения от начальных параметров. В случае, когда решение автономного уравнения неединственно, указано семейство решений, непрерывно зависящее от начальных условий.
2. Построен пример неразрешимого неавтономного стохастического линейного дифференциального уравнения. Получены достаточные условия существования и единственности решения неавтономного стохастического дифференциального уравнения, непрерывной зависимости от начальных условий.
3. Даны приложения к нелинейным стохастическим дифференциальным уравнениям.
Методы исследования. Результаты диссертации получены с использованием методов стохастического анализа, теории меры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных вопросах теории стохастических уравнений и ее приложениях.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах ” Ресконечномерный анализ и стохастика” под руководством профессора д.ф.-м.н. Р. И. Богачева, на международном семинаре ’’Бесконечномерный стохастический анализ”, посвященном 95-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова (МГУ, июль 1998), на международной конференции по стохастическому анализу (университет г. Билефельд, Германия, август 2000) и на международной конференции ’’Стохастический анализ и близкие вопросы” (Санкт-Петербург, июнь 2001).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах автора: [18], [17], [33].
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 35 наименований. Общий объем

Замечание 1.15. Существует сильное решение уравнения (1.25) на всей положительной полупрямой.
Действительно, в теореме 1.6 построено решение X на отрезке [О;Т]. Теперь можно последовательно построить решение данного уравнения последовательно на каждом из отрезков
[кТ; (к Т 1)Т],
взяв в качестве начального условия значение X(кТ, со) на конце предыдущего отрезка. При этом в каждой точке £ 6 М сохранится непрерывная зависимость построенного решения от начального условия Х(0,с.о).