Приложения теории краевых и угловых особенностей гладких функций к анализу бифуркаций решений вариационных задач с круговой симметрией

• Автор: Ладыкина, Екатерина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 114 с. : ил.

1 Фредгольмовы вариационные уравнения

1.1 Элементы анализа фредгольмовых функционалов

1.1.1 Фредгольмовы операторы

1.1.2 Фредгольмовы функционалы

1.1.3 Локальный анализ фредгольмовых функционалов

1.2 Функционалы с групповой симметрией и угловые особенности

! 1.2.1 Бифуркациопые диаграммы функционалов

у 1.2.2 Об угловых особенностях

1.2.3 Моды бифуркации угловой особенности

1.3 Функционалы, инвариатные относительно гладкого действия группы Ли

1.4 Приближенное вычисление ключевой функции

2 Фредгольмовы функционалы со слабо гладкой круговой симметрией
2.1 Элементы теории б?—пространств в условиях слабо гладкой круговой симметрии
2.1.1 Предварительные замечания
^ 2.1.2 Версальные деформации, каустики и ключевые
функции

2.1.3 Функционалы со слабо гладкой симметрией
2.2 Случай резонанса 1:2
2.2.1 Структура ключевой функции в условиях слабой круговой симметрии и резонанса 1:2
2.2.2 Анализ главной части ключевой функции
2.3 Случаи других резонансов
2.3.1 Резонанс 0:1
2.3.2 Резонанс 1:3
2.3.3 Резонанс р :
3 Приложения
3.1 2—модовые бифуркации периодических волновых движений упругой балки на упругом основании
3.1.1 Вводные замечания
3.1.2 Редукция функционала энергии к функции четырех переменных
3.1.3 Критические орбиты функционала энергии
3.1.4 Анализ главной части ключевой функции
3.1.5 Случай четного функционала энергии
3.2 Двухмодовые бифуркации периодических волновых решений соболевского уравнения 2-го порядка
3.2.1 Вводные замечания
3.2.2 Построение ключевой функции
3.2.3 Критические орбиты функционала энергии в случае резонанса 1:2
3.2.4 Анализ главной части ключевой функции
3.2.5 Случай четного функционала энергии
3.2.6 Случаи других резонансов
Литература

В теории упругих систем, теории фазовых переходов, теории нелинейных воли и других разделах современного естествознания естественным образом возникает вариационная задача вида:
V(x) —■> inf, (1)
в которой V(x) — гладкое семейство гладких функционалов с круговой симметрией, заданное на банаховом пространстве Е, то есть симметричное (инвариантное) относительно линейного действия Тд (не всегда непрерывного по д) группы Ли G — 50(2) на Е:
Vx(T3x) = Vx(x) VxeE, де 50(2), (2)
Л — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве L
(конечномерном или бесконечномерном). В диссертации рассмотрена вариационная задача (1) с круговой симметрией (2) при следующих дополнительных условиях:
1) функционал V(х) — фредгольмов индекса нуль;
2) действие группы 50(2) задано гомоморфизмом д Тд из 50(2) в группу 0(H) (линейных ортогональных преобразований Н), где Н — некоторое гильбертово пространство, в которое непрерывно и плотно вложено Е;
3) сужение представления Тд на каждое инвариантное конечномерное подпространство N в Е является гладким гомоморфизмом ( д н-у TgN из 50(2) в SO(N) является гладким отображением).
Групповое действие, подчиненное условию 3, будем называть слабо гладким.
Фредгольмовость функционала V означает, что
целесообразно использовать предложенный Bottom подход, по которому орбиты характеризуются сужениями функционала на локальные трансверсали к орбитам.
2.1.2 Версальные деформации, каустики и ключевые функции.
Среди всевозможных гладких деформаций выделяются так называемые версальные и мипиверсалъные, играющие важную роль в общей теории деформаций особенностей. Это связано с тем, что версальные деформации ’’содержат в себе”, все допустимые метаморфозы (перестройки линий уровня, расклейки и склейки особых точек, различные бифуркационные эффекты и т.д.), которые могут произойти при произвольном гладком деформировании функционала. Гладкая деформация U(•, Л) особенности функционала V в нуле называется версальной ([3], [10]), если факторклассы функционалов щ(х,0) (Ajt — координата А, к — 1,2, ... , /т) дают систему линейных образующих в локальном кольце особенности V в нуле (рассматриваемом как линейное пространство). Систему функций |Ц^(ж,0), к = 1,2, ... ,ц| иногда называют начальными скоростями деформации.
Гладкая деформация U(х, А) называется миниверсалыюй, если факторклассы ее начальных скоростей деформации образуют базис в локальном кольце особенности V в нуле.
Сокращенная на один параметр (после ’’отбрасывания” монома нулевой степени) миниверсальная деформация становится так называемой ограниченной миниверсалыюй деформацией. Число входящих в нее управляющих параметров совпадает с коразмерностью особенности.
Посредством миниверсальных деформаций вводятся различные би-