Краевые задачи типа Газемана и типа Карлемана для метааналитических функций

• Автор: Фатулаев, Буба Фатулаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Смоленск
• Количество страниц: 107 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
1.1. Основные обозначения и понятия
1.2. Основные сведения из теории краевых задач
со сдвигом для аналитических функций
1.3. Краткий обзор литературы по краевым задачам со сдвигом для полианалитических и метааналитических функций
ГЛАВА II. ОСНОВНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТИПА
ГАЗЕМАНА ДЛЯ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
2.1. Точная постановка основной задачи типа Газемана
2.2. Краевая задача типа Газемана для метааналитических функций в случае круга ... г
2.3. Исследование основной краевой задачи типа Газемана для метааналитических функций в случае произвольного гладкого контура
ГЛАВА III. ОСНОВНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТИПА
КАР ЛЕМАНА ДЛЯ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
3.1. Точная постановка основной задачи типа
Карлемана
3.2. Обобщенная краевая задача типа Карлемана
для аналитических функций
3.3. Исследование основной краевой задачи типа Карлемана для метааналитических функций в
случае произвольного гладкого контура
3.4. Краевая задача типа Карлемана для метааналитических функций в случае круга и дробно-линейного сдвига контура
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена исследованию линейных краевых задач с сопряжением и со сдвигом (типа Газемана и типа Карлемана) в классах метааналитических функций, т.е. регулярных решений дифференциального уравнения вида
где а о, а - некоторые комплексные постоянные, а — = - ——Ь і
дифференциальный оператор Коши-Римана.
Для аналитических функций (т.е. для решений уравнения вида др№ Щ
——— = 0) краевые задачи со сдвигом впервые были исследованы дх
К.Газеманом [84].
Большой вклад в развитие теории краевых задач со сдвигом для аналитических функций внесли Б.В.Боярский [5]-[7], И.Н.Векуа [11], Н.П.Векуа [12], Э.И.Зверович [27], [28], Р.С.Исаханов [29], Д.А.Квеселава [30], [31], Г.С.Литвинчук [38]-[41], И.Б.Симоненко [65] и др.
В последние три десятилетия как в странах СНГ, так и в других станах (Китае, КНДР, Югославии), наблюдается устойчивый интерес к краевым задачам со сдвигом для аналитических функций и различных их обобщений (полианалитических, метааналитических, Д-моногенных функций), что объясняется связями этих задач с такими математическими теориями, как, например, теория дифференциальных уравнений [78], теория приближения функций [80], а также многочисленными приложениями в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны [11], в теории плоских кавитационных течений идеальной жидкости и плоской теории упру-
Как справедливо указывал И.Н.Векуа [11], ”дальнейшие поиски в направлении изучения такого рода задач имеют значительный инте-
Одним из естественных обобщений краевых задач со сдвигом для аналитических функций являются задачи со схожей структурой для более широких классов функций (полианалитических, метааналитических, Д-моногенных и др.). Исследованию таких задач для полианалитических и метааналитических функций посвящены работы В.А.Габриновича [13-17], С.В.Левинского [34-37], В.В.Показеева [45],
(0.1)
гости [9). [10], [42], [43], [62].
рес”.

[46], И.А.Соколова [67], M.Canak [79], B.Damjanovic [81-83], С.R.Shoe [85] и др. Однако в этих работах рассматривались лишь задачи так называемого ”треугольного вида” (см., например, [56], с.19), которые, по сути, сводятся к последовательному решению нескольких хорошо изученных краевых задач со сдвигом в классах аналитических функций.
В то же время, наиболее важные краевые задачи с сопряжением и со сдвигом общего (не ’’треугольного”) вида для метааналитических функций до настоящего времени оставались не исследованными. К таким задачам, в первую очередь, относятся следущие две задачи, обычно называемые основными краевыми задачами типа Газемана и типа Карлемана для метааналитических функций (см. [56], с. 286).
Пусть Т+ - конечная односвязная область на плоскости комплексного переменного 2 = х+гу, ограниченная простым гладким замкнутым контуром L, уравнение которого имеет вид: t = x(s) +iy(s), 0 < s < I, где s - натуральный параметр, причем L Е С2 (см. с. 9). Через Т~ обозначим дополнение Т+ U L до полной комплексной плоскости.
Задача Н2,м (типа Газемана).
Требуется найти все кусочно-метааналитические функции F(z) — = {F+(z),F~(z)} класса М2(Т±) ПН<Я(Ь) исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на L следующим краевым условиям:
гдед/дп+ (d/dnFj - производная по внутренней (внешней) нормали к L, t' = dt/ds, a Gk(t), gk{t) {k = 0,1) - заданные на L функции, при-
Gk(t) ф 0 на L; a(t) - функция сдвига, сохраняющая ориентацию контура L, причем a'(t) ф 0, a(t) Є JT(L).
Задача ІГ2,м (типа Карлемана).
Требуется найти все метааналитические в Т+ функции класса
(0.2)
(0.3)
чем Gt(t) 6 Я13“*>(£) (m.e. Gk(t) удовлетворяют условию Гельдера вместе со своими производными до порядка 3 - к), gk(t) € H2~kL),
М2(Т+) ГНЬ), удовлетворяющие на L следующим условиям:
F+[a(t)] = G0(t)-F+(t)+g0(t),
1 Определение класса М2{Т±) П HW{L) см. на с. 18.
(0.4)

Решая системы (2.14) и (2.15) относительно <рк(х) и (рк (х), (к = 0,1), получим:
. 1<Ш+(х) Ло + г , . У+Ы
= „—У1 + 4-Н+М - '
,, . 2 - Л0 , У+(г) ТУЫ
м = —1«) +
-/ тг7— / 1Т,_, ч .гсИУ (г)
V,М = м - -V (*) + 2, г - 2:2сПУ (г:)
Ч> (*) = (г)
(2.17)
2 2 <1х
Так как функции У+{х) - аналитические в круге Т+ = {х :
|г| < 1}, то они разлагаются в окрестности точки г = 0 в степенные ряды, т.е. их можно записать в виде (см. [4], с. 130):
оо оо
Г(г)=Е«гД У+(*)= хеТ+, (2.18)
к=0 к=О

ак = ~/№+(т)т~к~1с1т, Ьк = ~! У+ (т)т~к~1 йт, (2.18а)

1У+(т), У+(г) - граничные значения функций ТУ+(,г) и У+(.г) соответственно.
При этом функции У~(х), У- (х) - аналитические вне единичного круга Т+ и исчезают на бесконечности, значит, их разложения в степенные ряды в окресности бесконечно удаленной точки будут иметь вид (см, например, [4], с. 153):
ОО ОО
У~(х) = 2 ак х~ У~(х) = £ к х~к, гбГ, (2.19)
к=1 к

= 2я7 I Ш~(т)тк~1<1т, Ъ = I У~(т)тк~1<1т, (2.19а)
Ь I
1У_(т), У_(г) - граничные значения функций У~(х) и У~(г) соответственно.
По условию задачи функции <рк(*), к = 0,1, должны быть аналитическими в круге Т+, а функции <рк (х), к — 0,1, - аналитическими в