К-монотонные весовые пары банаховых решеток

• Автор: Тихомиров, Константин Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 115 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Свойства правостороннего и левостороннего сдвига в пространствах последовательностей

1.1 Взаимосвязь свойств ПЭР и ЬЭР

1.2 Пространство последовательностей, построенное

рекурсивным методом

1.3 Пространство Гд имеет свойства УГ13Р, УЬЭР

1.4 Рд обладает свойствами ПЭР, ЬЭР

2 О необходимых и достаточных условиях /С-монотонности весовых пар

2.1 Предварительные сведения об интерполяции весовых пар

2.2 Весовая разложимость банаховых решеток
2.3 Взаимосвязь весовой разложимости и относительной £-моно-тонности
3 /С-монотонные весовые пары симметричных пространств
3.1 Функции, правильно меняющиеся в нуле
3.2 IV-разложимые пространства Лоренца на отрезке [0; 1]
3.3 IV-разложимые пространства Марцинкевича на отрезке [0,1]
3.4 РР-разложимые симметричные пространства на [0; оо)
3.5 Следствия для весовых пар симметричных пространств
4 Неравенства для сумм независимых функций
4.1 Неравенство Розенталя
4.2 Об одной задаче для бистохастических матриц
Литература

Введение
Настоящее исследование посвящено двум актуальным проблемам функционального анализа. Во-первых, изучаются интерполяционные свойства весовых пар банаховых решеток. Получены утверждения, устанавливающие /С-монотонность таких пар при определенных условиях. Во-вторых, в диссертации рассматривается вопрос об усилении неравенства Розенталя, относящегося к оценкам сумм независимых функций.
Теория интерполяции операторов как самостоятельная отрасль функционального анализа оформилась в 50-е-60-е годы прошлого столетия, хотя первые результаты были получены значительно раньше (вспомним знаменитые теоремы Рисса-Торина и Марцинкевича [4, теоремы 1.1.1, 1.3.1]). Основной задачей этой теории является доказательство тех или иных свойств нормированных пространств (или же множеств другой природы), исходя из свойств «крайних» пространств, для которых рассматриваемые пространства являются интерполяционными (см., например, краткий обзор в [38, с. 1131-1176]). В этой связи принципиальное значение имеет нахождение метода описания всех или части интерполяционных пространств относительно данной пары. Одним из вариантов такого описания является характеризация пространств в терминах ^-монотонности. /С-монотонные промежуточные пространства являются интерполяционными. В том случае, когда, наоборот, любое интерполяционное пространство является /С-монотонным, говорят, что соответствующая пара /С-монотонна (точное определение будет дано несколько позднее). Поскольку изучение /С-монотонных пар является центральной темой нашего исследования, далее приводится краткий обзор результатов по этому направлению. Вероятно, первым известным примером /С-монотонной пары стала пара (Li, Loo); доказательство этой теоремы принадлежит А.П. Кальдерону (см. [27, теорема 1], [8, гл. II, теорема 4.3]). Отметим, что описание интерполяционных пространств для пары (Lj, Ь^) содержится в более ранней статье

Б. С. Митягина [9], хотя формулировка теоремы отличается от предложенной
А.П. Кальдероном (по поводу связи теорем Митягина и Кальдерона см. [50, с. 233-234]). Г. Лоренц и Т. Симогаки [43] получили аналогичный результат для пар {Lp, Loa) (1 < р < оо). Впоследствии A.A. Седаев и Е.М. Семенов доказали, что весовые пары {Lx{wq), Lx{wi)) /С-монотонны для произвольных весов wq, w [12]; этот результат был обобщен A.A. Седаевым на случай (Lp{wq), Lp(wi)), 1 < р < оо [13]. Недавно М. Цвикель и И. Козлова получили альтернативное доказательство теоремы Седаева-Семенова [32]. Г. Спарр [50] установил, что пары (LPa(wо), LPl(wi)), {LPo(v0), LPl(vi)) равномерно относительно /С-МОНОТОННЫ ДЛЯ любых 1 < Po,Pl < ОО И произвольных весов Wo, u>i, vq, vi (см. также [34], где приводится другое доказательство). Дальнейшим обобщением стала работа В.И. Дмитриева [6], в которой дается критерий относительной/С-монотонности пар (LpJwo), LVl (wi)), (Lqo(vo), Lqi{v)). Интересно, что «инвариантность» /С-монотонности относительно замены весов — практически эксклюзивное свойство /^-пространств. Так, в работе [36] доказана следующая теорема (здесь и далее, мы приводим результаты других авторов в той формулировке, которая наиболее удобна в контексте рассматриваемых проблем):
Теорема I (Цвикель, Нильсон, [36, теорема 0.3]). Пусть X — насыщенная порядково непрерывная банахова решетка со свойством Фату. Следующие утверждения эквивалентны:
1) Пары {X(wo), X(wi)), (X(vq), X{v)) равномерно относительно К-моно-тонны с константой, не зависящей от выбора весов wo, w, Vo, щ;
2) X = Lp{f) для некоторого веса / и р € [1; оо).
Более общие утверждения получены в недавней статье [31]. Среди результатов по /С-монотонности отдельных семейств банаховых пар выделим работы [35] (пары (Хеа.Ро, ХвиР1) и (Ар<ф, L^)), [30] (пары {Lx, Мр), (Мр, Laj), где Мр — пространство Марцинкевича), [24] (пары пространств Липшица), [25] (асимптотика так называемых «констант Кальдерона» для некоторых пар конечномерных пространств). Основополагающие результаты по /С-монотонности пар пространств последовательностей и симметричных функциональных пространств были получены Н. Калтоном в работе [41]. Также упомянем работы, непосредственно связанные с темой настоящего исследования: [51]

1 = ji < j2 < ... < jr+i — m + 1. Константой укрупнения назовем величину
Иначе говоря, Еп(з', в) — это наибольшее количество отрезков из я, которые объединены в один отрезок из э'.
Упорядоченное множество
назовем системой конфигураций, если
тах{п : п 6 5;[сагб5^]} = тт{п : п е [1]} — 1 (I — 1,2.... ,г — 1).
Систему конфигураций 5' = ...; яД назовем укрупнением системы
Б = {зи 52;...; йг}, если 5^ — укрупнение конфигурации я; для всех I —
1,2,... ,г. Определим константу укрупнения для систем:
Конфигурацию s, составленную из всех интервалов s; j], 1 < j < cardsj, 1 < l < г, будем называть конфигурацией, порожденной системой S = {si, S2, ..., S,.}.
Введем бинарное отношение S на множестве конфигураций V. Для двух конфигураций si, §2 € V пара < Si,S2 > принадлежит S, если cardsi = cards2 и
для всех j, j2, удовлетворяющих неравенствам
2 < ji, ji + 2< j2 < card si - 1.
Грубо говоря, < Si, S2 > принадлежит S, если количество интервалов в двух конфигурациях одинаково и интервалы S2 «ненамного меньше» (а, возможно, И больше) соответствующих интервалов Sl-
Замечание 1.3. Любая пара конфигураций, содержащих одинаковое число интервалов, не превосходящее 4, принадлежит S.
Лемма 1.3. Пусть s[, s’2,..., s'h — A-допустимые конфигурации, h < 14; S = {si; S2]...; — система конфигураций (не обязательно A-допусти-
мых), такая, что < s[, si >€ En{s', s) = max (j';+1 - ji).
1=1,...Г
S — {si; S2 sr} , Si En(S',S) := max En(s'i,si).
i=l,..,r