Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов с эллиптической главной частью

• Автор: Шустер, Леонид Абрамович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Алма-Ата
• Количество страниц: 123 c. : ил

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. О собственных функциях дифференциальных операторов

§ I. Схема одного метода исследования собственных (функций дифференциальных операторов на примере периодический краевой задачи

§ 2. Основ'ная априорная оценка

§ 3. Априорные оценки нелокального характера

§ 4. Теорема о представлении собственных функций и априорные оценки локального характера

§ 5. Оценки собственных функций с учетом граничных условий

§ 6. Доказательства следствий из априорных оценок собственных функций

ГЛАВА 2. Распределение спектра и выбор базиса в "пачках"

собственных подпространств

§ I. О свойствах одной квадратичной формы
§ 2. Операторные неравенства и распределение спектра.. 59.
§ 3. О выборе базиса в "пачках" собственных подпространств. Следствия
Глава 3. О свойствах резольвенты оператора Штурма - Лиувилля
§ I. О свойствах одного усреднения

§ 2. Определение классов потенциалов
§ 3. Операторы Штурма - Лиувилля, заданные локально,
и их свойства
§ 4. Свойства резольвенты оператора Штурма - Лиувилля 94.
§ 5. Следствия основной теоремы
ДОПОЛНЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Исследование многих задач математической физики и квантовой механики связано с разложениями в ряды по собственным функциям (с.ф.) дифференциальных операторов. При этом важное значение имеют оценки с.ф. и их производных в равномерной метрике. Такие априорные (без учета граничных условий) оценки получены для с.ф. оператора Штурма - Лиувилля в работах профессора В.А.Ильина и его школы: И.Йо, Н.Лажетича, И.С.Ломова, В.В.Тихомирова и др., а для дифференциальных операторов высокого порядка при определенных предположениях относительно расположения их спектра на комплексной плоскости оценки с.ф. локального характера даны в работах В.А.Ильина, А.М.Минкина.
Одной из основных задач спектральной теории самосопряженных дифференциальных операторов является исследование распределения на числовой оси их собственных значений. В связи с различными методами суммирования спектральных разложений весьма важно с одной стороны - изучить многомерные дифференциальные операторы, для которых можно точно определить распределение точек спектра на интервалах числовой оси, с другой стороны - принципиальным является выявление базиса простой структуры в подпространствах, порожденных с.ф., которые соответствуют собственным значениям, принадлежащим этим интервалам.
В последние годы активно исследуются свойства резольвент сингулярных эллиптических операторов в весовых пространствах
I (й) , 0- (- оо оо) . Традиционной моделью при этом слу-
<2ДС)
жит оператор Штурма - Лиувилля, особое внимание уделялось вопросу о разделимости этого оператора. Основные достижения в этой области принадлежат Х.Эверитту и М.Гирцу, К.Х.Бойматову, М.Отелбаеву. Данная тематика для случая весовых пространств Ь , (й) ,

п г (I) -с5Гах .+
$) = У М е с1х > >
-I Л
Основное соотношение для доказательства неравенств (0.8) задаётся формулой (1.2.5):
^ -с5Г^х
(цзг| -Л)с5
^ * £ / (Ю Ш-к) -С5Г$Х ,
+ /СЛ ) ^ м г ёх
К=0 -£
Разобъём множество чисел У'/“ на непересекающиеся подмножества с ГЛ} ? СХ)
Д* и следующим образом:

<1и
^/'=/5; I|53Т|
|/з5П-ДР" | 4 Ш1
Тогда при 5 £ имеет место неравенство:
||^ад|,мГ(,^Г+ /л|^)
Пусть ^ . Пользуясь неравенствами Коши - Буняковского,
Бесселя, теоремой 0.2, леммой 1.1.3 и свойствами подмножества
при к = 0,&и-3 получим следующую цепочку неравенств:
V ппхп^ЛМ^Ш^ЬаЫЛ) V1 / 55Г/^
1 4 ТТЖп —7^1
БСЗ/ ^ 3£$1М 153Г1 +