Базисы всплесков в функциональных пространствах

• Автор: Новиков, Игорь Яковлевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 214 с.

Содержание
1 Введение
1.1 Общая характеристика работы
1.1.1 Актуальность темы
1.1.2 Цель работы
1.1.3 Научная новизна
1.2 Основное содержание работы
1.3 Определения и обозначения
2 Некоторые факты общей теории всплесков, используемые в работе
2.1 Стационарные всплески и существование масштабирующей функции
2.2 Кратномасштабный анализ в Ь2(И) :
2.3 Регулярные КМА в Б2(К.)
2.4 Система Уиттакера-Шеннона-Котельникова
2.5 Всплески Мейера
2.6 Ортогональные всплески с компактным носителем
2.7 Константы неопределенности
2.7.1 Соотношения между радиусами масштабирующего фильтра и масштабирующей функции
3 Безусловные базисы всплесков в пространствах
Лизоркина-Трибеля и Бесова
3.1 Оптимальные базисы в пространстве С(0,1)
3.2 Безусловные базисы всплесков в анизотропных
пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля
3.2.1 Определения и предварительные сведения
3.2.2 Конструкция всплескового базиса
3.2.3 Эквивалентные нормы в пространствах В и
3.2.4 Основные результаты и комментарии
3.2.5 Доказательства
3.3 Базисы всплесков и линейные операторы в пространствах
Лизоркина-Трибеля
3.3.1 Введение
3.3.2 Определения и предварительные сведения

3.3.3 Формулировки результатов и комментарии
3.3.4 Доказательства
4 Модифицированные всплески Добеши, сохраняющие ло-кализованность с возрастанием гладкости
4.1 Описание конструкции
4.2 Предельное поведение модифицированных
всплесков
4.3 Константы неопределенности для модифицированных
всплесков Добеши
4.4 Минимальные константы неопределенности
для фильтров простейшей модификации и для классических фильтров Добеши
4.5 Асимптотика нулей полиномов Бернштейна, используемых в построении модифицированных всплесков Добеши
4.5.1 Введение
4.5.2 Расположение нулей полиномов Бернштейна
4.5.3 Вспомогательные результаты
5 Нестационарные всплески
5.1 Общая теория нестационарных всплесков
5.2 Нестационарные бесконечно дифференцируемые орто-
нормированные всплески с компактным носителем
5.3 Построение системы Ф
5.4 Свойства системы Ф
5.5 Константы неопределенности для Ф
5.6 Нестационарные всплески с модифицированными фильтрами Добеши
5.7 Свойства системы Фа
5.8 Константы неопределенности для Ф°
5.9 Базисы нестационарных всплесков в пространствах Соболева

1 Введение
1.1 Общая характеристика работы
1.1.1 Актуальность темы
Всплеском, в самом общем виде, называют определенную на числовой оси функцию ф, имеющую нулевое среднее и достаточно быстрое убывание на бесконечности. Термин всплеск предложен К.И. Осколковым в качестве эквивалента английского термина wavelet (фр. - ondelet-te), что буквально переводится как маленькая (имеется в виду продолжительность) волна, волночка. Термин всплеск лучше отражает суть дела, так как выше упомянутые свойства означают, что функция ф представляет собой затухающее колебание. Всплески используются или в качестве ядра интегрального преобразования
(Wf)(a,b) = -=1к/(Ь)ф dti а,ЬеЛ, а > 0;
или в качестве генерирующей функции для построения базиса при помощи дилатаций, т.е. сжатий с сохранением нормы в T2(R)
Ф3{Ь) = Ф]o(t) := 2}/2ф(2Ч), j е Z,
и сдвигов
ф]к(г) := ф,{Ь - k2~j) = У'2ф(2Ч - к), к е Z.
Теория всплесков лежит на пересечении чистой математики, вычислительной математики, преобразования сигналов и изображений.
Простейшим примером всплесков нулевой гладкости являются функции Хаара [Нааг]. Бесконечно дифференцируемые всплески, убывающие на бесконечности как 1/х, рассмотрены X. Трибелем [Triebel 77]. Экспоненциально убывающие всплески изучены Ж.-О. Стрембергом [Stromberg] (см. также [Meyer 88]), П.Ж. Лема-ри [Lemarie 88] и Г. Бэтлом [Battle], В работе [Meyer 87] И. Мейер построил бесконечно дифференцируемый всплеск с компактным спектром. И. Добеши сконструировала всплески любого конечного порядка гладкости с компактным носителем [Daubechies 88]. Единый подход к построению систем всплесков предложен С. Малла [Mallat].

Функцию <р называют масштабирующей (scaling), равенство (2.13) -масштабным, равенство (2.15) - уточняющим (refinement), функцию т - уточняющей маской (refinement mask) или масштабирующим фильтром (scaling filter).
В силу Теоремы
Е I+ 2ttZ)|2 = 1 (2.16)
le z
для почти всех ш. Если подставить (2.15) в (2.16), то получим, что
Е т{ш/2 + тг1)(р{ш/2 -fi 7г/)|2
Разбивая сумму на две (по четным и по нечетным I) и учитывая 27г-периодичность т, имеем, что
|ш(са/2)|2 + т(ш/2 + 7г)|2 = 1. (2.17)
Нетрудно получить характеризацию подпространства Wo в терминах образов Фурье. Любая функция / из Wo принадлежит V и ортогональна Vo- Первое свойство означает, что
/ = Е fkVik,
ке Z
где fk — (/, /(ш) - т}{ш/2) 2), (2.18)

т/Н = -к Е Ле

- 27г-периодическая функция из Л2 [О, 2тг]. Условие ортогональности / к 1о эквивалентно тому, что / Т <док Для любого к £ X, т.е.

Заметим,что