Операторы конечного порядка в локально выпуклых пространствах и их применение

• Автор: Мишин, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Орел
• Количество страниц: 116 с. : ил

Оглавление
Введение

I Порядок и тип оператора и последовательности операторов

1.1 Порядок и тип оператора и последовательности операто-

ров, операторный порядок и тип вектора: определение, основные свойства и примеры

1.2 Порядки и типы некоторых операторов, действующих в

конкретных функциональных пространствах

1.3 Порядок и тип сопряженного оператора и обратного оператора

II Применения понятий порядка и типа оператора и последовательности операторов к решению задач анализа

2.1 Изучение специального класса векторнозначных функций

2.2 Изучение операторов с векторнозначной характеристической функцией
2.3 Регулярные операторы, спектр и резольвента
2.4 Собственные вектор-функции оператора
2.5 Изучение операторов, коммутирующих с оператором ко-
нечного порядка, обладающим целой собственной вектор-функцией
2.6 Изучение операторов, коммутирующих с оператором
конечного порядка, обладающим собственной вектор-функцией, аналитической в круге
Литература

Введение
В середине 80-х гг. XX в. В.П. Громов [1, 2], развивая некоторые задачи работ А.Ф. Леонтьева [25, 26] о разложении функций в ряды экспонент, ввел понятия порядка и типа оператора и операторного порядка и типа вектора относительно оператора, действующего в отделимом локально выпуклом пространстве. Вначале эти понятия применялись им при решении задач о разложении векторов локально выпуклого пространства в ряд по собственным элементам линейного оператора. Позже В.П. Громов и его ученики понятия порядка и типа оператора эффективно использовали и при решении многих других задач современного анализа: в задачах о полноте систем значений голоморфных вектор-функций (см. [3, 40, 41]), при изучении характеристик роста целых векторнозначных функций (см. [2]), в задаче о разложении векторов локально выпуклого пространства в обобщенный ряд Тейлора (см. [5]), при исследовании подпространств локально выпуклого пространства Н, инвариантного относительно оператора А конечного порядка /в(А) > 0 и типа а(А) < оо (см. [39, 42]), при изучении операторов с векторнозначной характеристической функцией (см. [2]).
В работе [2] В.П. Громов модифицировал понятие порядка и типа оператора и распространил его на последовательности линейных непрерывных операторов, действующих в отделимом локально выпуклом пространстве. Там же были указаны применения этих понятий.
Интересные и эффективные применения операторных порядков и типов вектора относительно линейного оператора, действующего в локально выпуклом пространстве, В.П. Громов изложил в работе [4]. Эта работа посвящена дифференциально-операторным уравнениям, включающим в себя, как частный случай, дифференциальные уравнения в
—
частных производных, дифференциально-разностные и интегральные уравнения, а также другие функционально-операторные уравнения.
Настоящая работа посвящена дальнейшему обобщению, развитию и более глубокому исследованию понятий порядка и типа оператора и последовательности операторов, действующих в произвольных локально выпуклых пространствах, а также новых приложений этих понятий. В частности, дано более общее понятие порядка оператора, проведено подробное исследование операторов отрицательного и нулевого порядка (в работах В.П. Громова изучались лишь операторы положительного порядка). Операторы, имеющие отрицательный и нулевой порядок, встречаются на практике довольно часто и им отведено в нашей работе определенное место. Все рассматриваемые в работе локально выпуклые пространства предполагаются отделимыми.
В работе введены понятия порядка и типа оператора, действующего в локально выпуклом пространстве, на котором определены две, вообще говоря, различные топологии. При этом понятия порядка и типа оператора, введенные В.П. Громовым в нашем общем определении содержатся как один из важных, но частных случаев (когда топологии совпадают). Обобщение порядка и типа оператора позволило решать ряд задач, связанных с изучением операторов, имеющих векторнозначную характеристическую функцию; операторов, коммутирующих с заданным и др.
Работа состоит из введения и двух глав. Во введении дан краткий исторический очерк решаемых задач и содержание основных результатов автора.
В первой главе подробно изучаются понятия порядка и типа оператора и последовательности операторов, а также понятия операторного порядка и типа вектора; полученные результаты иллюстрируются раз-
—
пактах:

\F\P = max F(z)] Gi С G2 С • ■ • , II Gp = G,
^ P=i
Расширением области G на d (или d -окрестностью области G) называется область D — G U Kd, где Kd — объединение кругов радиуса d с центрами на dG. Сужением области G на d называется область D = GKd. Сужение области G на d может оказаться пустым. Верхнюю грань чисел d, таких что сужение области G на d непусто будем называть верхней границей сужаемости области G и обозначать d0. Справедлива
Теорема 1.8. Если функция F Є H(G), то ее операторные р -порядки Pp(F) относительно оператора дифференцирования не превосходят единицы, а если /3P(F) — 1, то ее р -типы otP{F) ^ a{F) ^ Здесь dp и d —расстояние соответственно от Gp и G до ближайшей особой точки функции F.
Доказательство.
□ Пусть О — ближайшая к области С особая точка функции Е (см. рис. ^.Обозначим др и д соответственно расстоя-
ние от т. О до Gp и G. Пусть D

расширение области (7 и пусть 7 — произвольный замкнутый контур внутри Д, Рис-
а Г — часть плоскости, ограниченная контуром 7. Из интегральной формулы Коши следует ( К аналитическая в В):

z)\p = max ZdGp
n! f F(t)dt
2тг і і (•t - z)n+

max |F(z)| ^ C(F)

e(^p є),