Теоремы равносходимости для интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях

• Автор: Назарова, Екатерина Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 115 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Резольвента простейшего оператора

1.1 Преобразование граничного условия обратного оператора

1.2 Формула для резольвенты дифференциально-разностного оператора Ь

1.3 Оценки резольвенты Л0 л

Глава 2. Резольвенты К1Л и Кл

2.1 Связь Лол и Я1Л

2.2 Связь /г1>А

2.3 Оценки /?!д/

2.4 Оценки Лл/

Глава 3. Теоремы равносходимости
3.1 Равносходимость разложений функции /(х)по собственным и присоединенным функциям оператора Г0 и оператора А
3.2 Равносходимость разложений функции /(х) по собственным
и присоединенным функциям оператора Ь0 и в тригонометрический ряд Фурье
3.3 Равносходимость разложений функции /(х) по собственным и присоединенным функциям оператора А ив тригонометрический ряд Фурье
Дополнение. Обращение оператора А при произвольном п
Список литературы

Введение
Многие вопросы построения и исследования математических моделей физических явлений приводят к задачам спектрального анализа самосопряженных и несамосопряженных операторов. Спектральный анализ таких операторов включает в себя задачи определения собственных значений, собственных и присоединенных функций (СПФ), разложения произвольной функции в ряд по СПФ, вопросы полноты и базисности СПФ, равносходимости разложений по СПФ и по известным системам функций и т.д. Интерес к спектральной теории велик, а успехи в ее развитии за последние десятилетия значительны.
Настоящая работа посвящена получению теорем равносходимости разложений по СПФ для одного класса интегральных операторов и в обычный тригонометрический ряд Фурье.
Впервые теорема равносходимости разложений по СПФ и разложений в тригонометрические ряды Фурье была установлена в работах В.А. Стеклова
[1], Е.В. Гобсона [2] и А.Хаара [3] для оператора Штурма-Лиувилля. Затем Я.Д. Тамаркин [4] и М.Н. Стоун [5] распространили этот результат на произвольный дифференциальный оператор:
Ы = У+ ЕйМ-И*’.й(х) 5 £[0,1] (0.1)

с произвольными краевыми условиями:
^(у)=ЕК1/1>(0) + *#У‘)(1)] = 0О = 1,..,я) , (0.2)

удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа ([6], стр.66-67), которые заключаются в отличии от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов при старших производных в V^у) (после
приведения их к нормированному виду ([6], стр 65-66). Дадим формулировку этого результата.
Теорема 0.1. Для любой функции /(х) € £[0,1] имеет место:
М|5Г (/,х) - о-, (/, х)|с[5Д_(5] = 0 (0.3)

где 5- любое число из 0,— , 5Г{/,х) — частичная сумма ряда Фурье по

собственным и присоединенным функциям оператора (0.1) - (0.2) для тех
собственных значений, для которых Хк < гп;аг(/,х) - частичная сумма
тригонометрического ряда Фурье для тех к, для которых кк < г.
Условия регулярности снять, вообще говоря, нельзя.

лиувиллевского типа получения теорем равносходимости, когда дифференциальный оператор не привязывается к граничным условиям, а лишь используется дополнительная информация о поведении собственных значений и собственных функций и этот метод приводит часто к результатам окончательного характера, и исследования А.М. Седлецкого (см., например,
[11]) об операторе дифференцирования с размазанными граничными условиями.
С точки зрения интегральных операторов теорема (0.1) дает равносходимость спектральных разложений для операторов вида:
когда А(х,() является функцией Грина дифференциальных операторов. Для интегральных операторов общего вида вопрос о равносходимости исследовался впервые А.П.Хромовым ([12],[13]). Он ввел следующие требования на ядро А(х, *):
5 = 0,..., п; 6^к - символ Кронекера.
В работе [13] обосновывается существенность всех этих требований для выполнения теоремы 0.1. Отметим, что условие в) задает канонический вид интегральных операторов, для которых имеет место теорема 0.1. Начиная с 1998 года (см.[14]), стали исследоваться интегральные операторы, ядра которых имеют скачки п -1 - ой производной не только на линии (= х, но и t = -x. Эти операторы мы рассматриваем в виде:
Для двух частных случаев оператора (0.5) - (0.6), в первом из которых ах = аъ = ссл = 0, а во втором а2 = а4 = 0; А1 (хД) = А3(х,() теоремы равносходимости были получены А.П. Хромовым [15] и совместно А.П. Хромовым и В.В.Корневым [16].
4Ґ = [Л(х,0Д0Ж,
(0.4)

а) А (х,і) = гА(х,і), (5, у = 0,...,«) - непрерывны при / <хи
д5+->
Ь) л существует,
в) ААх, (х,0 Ых= Ах$ (*,0|г=х_о - Ах* СМ)и*+о = 1»

А/ = ах Ах (х,0/(0^ + а2 |^2(л»0Л0*+

+а3 |^3(1-х,/)/(0^ + «4 |х4(1-хД)/(0^ > (0-5)

где а{ - комплексные константы, и выполняется условие:
(0.6)

= 0 еКеЛ^(г“1)^ = О ^ *^_[1 - е~ЕеА^ = 0(ае(КеЛЛ)),

11*72211x1= У |*722(ж,Л)|(7ж = У 0(е~ХуД{х+1))ёх =

= О I У е~КеХ^х+1Чх | = О (_-1_=[е-2ЕеА^ _ е-КеА^]) =

,-Ие ХуД

-**^-1]^ = 0(ээ(Г1е Ал/^)).
-ВеХуД Лемма 1.9 доказана.

Перейдем к изучению / и(д(х, t, А))ББ(£)<й.

Из (1.41),(1.42) и определения матрицы и(д(хД,)) имеем:

У и(д(х,Ъ))ВР(г)<И = 1[Рд(Ъ,г,)--С}д{1,г,Х)}ВР{1)<И =

[ [У 71 72 ( -е~х^ 0 / О 0 / О 0 ]
У V О 0 у О 0/ 72 71 / 0 е^Й-1)

х ( м- [( -Ье-^‘
х I (ВВ(«))2 7 У Ао 0 / ( 0 ^е^'-Ч

(ВВ(()), ,._[ —Т1е“А о I ( (ВЕЦ)), _
(ВВ(1))2 7 - У I 0 Т1ел^<‘-1) ] ^ (ВВ(1))2

_ъе-уД1
0 71ел^
—71е-Лч/^< (ББ(г)):
71еА^(г-1) (ББ(О):