Конструктивное описание пространств непрерывных функций на системах лучей

• Автор: Давыдова, Татьяна Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 85 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
0.1. История вопросов, исследуемых в диссертации
0.2 Основное содержание диссертации
Глава 1. Аналог теоремы С.Н.Бернштейна для функций,
неограниченных на оси
Глава 2. Приближение функций из класса Гёльдера на полуоси
2.0. Некоторые определения и формулировка результата
2.1.Предварительные соображения по способу аппроксимации функции Г
2.2. Окончательный вариант приближающей функции
2.3. Оценка Г](х)-Ост(х) при х>0
Глава 3. Обратная теорема о приближении функций на полуоси
Литература

ВВЕДЕНИЕ
0.1. История вопросов, исследуемых в диссертации.
Первыми результатами, относящимися к описанию классов функций, заданных на неограниченных множествах, скоростью их поточечной аппроксимации, из определенных подклассов целых функций, были теоремы С.Н.Бернштейна об описании классов ограниченных функций с какими-то условиями на их гладкость скоростью их наилучшего приближения так называемыми целыми функциями конечной степени.
Сформулируем классическую теорему С.Н.Бернштейна для классов Гёльдера, которую можно считать первым результатом в развитии последующей теории.
Итак, пусть 0<а<1, Ла - пространство комплекснозначных функций £, определенных и ограниченных на вещественной оси К и удовлетворяющих на Я условию Гёльдера порядка а, то есть таким, что
І £(хі)-ґ(х2) I < с І Х}-х21а, х,ує Я и |С(х)|<Аг.
Пусть, далее, Ва - это класс целых функций первого порядка и типа не больше а, ограниченных на всей оси К.
Теорема А (С.Н.Бернштейн [1]). Для того, чтобы ограниченная функция ґ принадлежала классу Ла, 0<а<1, необходимо и достаточно, чтобы существовала постоянная с0=СоД), не зависящая от а и х, такая, что для всякого с>0 нашлась бы целая функция срстє В0 такая, что

1х)-фст(х)|<с0аа

В работах С.Н.Бернштейна [1], [2], [3] рассмотрены классы функций на оси К более общие, чем Ла, однако условие ограниченности функций из соответствующего класса для получения его конструктивного описания всегда накладывалось.
Это замечание по существу относится и к тем ситуациям, в которых рассматриваются классы функций вида g+f, где g - фиксированная функция первого порядка экспоненциального типа, а !'е Ла, так как приближение находится в форме Я+фс, фа - приближающая целая функция для Б, см. [4], [5].
Конечно, теорема А описывает в форме оценки (1) приближения функциями классов Вс на вещественной оси и классы ограниченных аналитических функций в нижней полуплоскости С_={г: 1т '/.<()}, удовлетворяющих условию Гёльдера порядка а.
Следующим этапом в развитии обсуждаемой проблематики можно считать работы Кобера [6], [7]:
Теорема В. Пусть функция Г определена и ограничена на оси К. Для того, чтобы функция Б была равномерно непрерывной на Я, необходимо и достаточно, чтобы
М вир | Б(х) - сра (х)|

Примечания.
В анализе уже употреблялось большое количество классов целых функций экспоненциального типа, выделяемых своим поведением на вещественной оси. Перечислим наиболее часто встречающиеся из них:
-класс Картрайт А (см.[28], гл.5), использовавшийся в доказательстве леммы 1.2:
целая функция Г экспоненциального типа < <7 (обозначим все такие функции через Е0) принадлежит классу А, если
- класс С.Н.Бернштейна [27], гл. 4 Вс : ГеВ„ , если 1'еЕа и |Г(х)| <С, хе(- оо;оо);
- класс Б.М. Левитана [32] , г>0 - целое: 1'е WдГ), если ГеЕ0 и
где log+a = шах(0,ка);
- класс Винера-Пэли [31] ¥с : 1"еУс , если £еЕст и
||Е(х)|2 бх < оо;