О некоторых задачах многомерной теории приближений разных метрик

• Автор: Сихов, Мирбулат Бахытжанович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Алматы
• Количество страниц: 186 с.

Содержание
Введение
Глава 1. О прямых и обратных теоремах теории приближений с заданной мажорантой
1.1 Вспомогательные утверждения
1.2 Об одномерной обратной теореме теории приближений в пространствах Лоренца
1.3 О многомерных прямых и обратных теоремах теории приближений с заданной мажорантой
1.4 О многомерных прямых теоремах теории приближений с заданной мажорантой в пространстве Бесова
Глава 2. Неравенства типа Бернштейна, Джексона - Никольского и некоторые теоремы вложения
2.1 Вспомогательные утверждения
2.2 Неравенства типа Бернштейна, Джексона-Никольского
2.3 Порядковые оценки производных А - ядра Дирихле
2.4 О некоторых теоремах вложения Н и Е - классов
2.5 О необходимости условий для вложения Е - классов
Глава 3. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования на классах типа 5- классов Никольского, Бесова и Соболева
3.1 Оптимальные коэффициенты и равномерно распределенные сетки Коробова
Вспомогательные утверждения
3.2 Об эффективности алгоритмов численного интегрирования на классах типа Б - классов Никольского, Бесова и Соболева
3.3 Об эквивалентных условиях равномерной распределенности сеток Коробова
4 Выводы
Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ
Пусть 1Гц = [—7Г, 7г]5-з-мерный куб, Ьр(тт8) (1 < р < оо)-множество всех измеримых 2тг- периодических по каждой из 5 переменных функций f(x) — /(.гд,..., х8) таких, что
/|р = (2тг)-М j f(x)pdx
<00, 1 < р < 00,
/ = vrai sup |/(х)| < оо, р — оо,
Р х£ж.
пусть также
ЦМ = |/ є І?{кз) ■ j І{х)(ІХз = 0 (і = 1,6'
Для подмножества В евклидова пространства Ля через Л0 и В+ обозначим множества, состоящие из всех элементов х — (ад, ...,х3) Є В, каждая компонента которых неотрицательна и положительна соответственно. Через В', как обычно, обозначим целочисленную решетку Л*. Для п € Z+
положим

= щ + ... + п„, 2~п = (2-п‘,..., 2~п‘).
Для / G ЛД7гв) определен смешанный модуль гладкости порядка & G
^(/'; Op = h, te)p = sup II-дй/(ж)Up (* € [o< 00)
l/yis*,-
где д{/м = д{,...д*/и, д£. = Дд/Д*:1),
ДД('с} = /(Д1.........xj+hj,...,xe) - /(д,....д.,Ы .
При s = 1 также обозначим
Uk{ft)p = nk(f-,t)p.
Для данных чисел 1 < р < оо, 0 < тд < ... < rs класс Никольского 8Нр1'-'Гз состоит, по определению, из всех функций / 6 ЬДя,,) таких, что для смешанного модуля гладкости порядка fc > г5 выполнено
а(/;0р<П^-

Более тонкая классификация функций по гладкости в метрике 1^(тт8) состоит в замене в этом определении функций £■ на общие функции типа модуля гладкости ш3{1,3).
И, наконец, наиболее естественный общий случай состоит в замене мажорантной функции в правой части (1) на функцию типа смешанного модуля гладкости 0(£) = П(£ь ...,£в) - непрерывной на [О, I]5 функции, являющейся функцией типа модуля гладкости порядка к по каждой из переменных при фиксированных остальных (здесь и в дальнейшем, выражение "при фиксированных остальных переменных "будет означать, что константа в соответствующем определении не зависит от этих переменных); полученный при этом класс функций / € обозначим через БНр.

ние (в Ьр) функции / полиномами из Т(О), где С? - конечное множество точек Zs, а
В нашей работе спектр (5 будет задан посредством непрерывной на [0,1]в функции Л(£) = Л(£х, ...,£8), неубывающей по каждой переменной при фиксированных остальных и такой, что Л(£) > 0 и Л(£) = 0 смотря

по тому Д > О ИЛИ Д = 0. В связи с этим определим следующие 3=1 3=
множества (Аг > 0):
Основными понятиями теории приближений являются понятия наилучшего приближения и модуля непрерывности (гладкости), отражающие соответственно конструктивные и структурные свойства функции.
В одномерном случае взаимоотношения между этими принципиально различными характеристиками функций впервые были установлены Д.Джексоном и С.Н.Бершнтейном.
Именно, Д.Джексон [1] доказал, что 2п~ периодическую функцию от одной переменной, имеющую непрерывную производную порядка г, можно приблизить тригонометрическими полиномами іп(х) так, что отклонение
обозначают наилучшее приближе-
Г(Л, АГ) = {та Є Я* : Л(2-") > і} , Г-ДЛ, М) = Г(Л, АГ) ,
р(п) = {га — (ші, ...,тп8) Є Zs : 2п^~1 < тп31 < 2ПД (та Є Zs+), С2(А,М)= У Р{п).
гає Г(Л,ЛГ)

<С2(г,в)
(1прУ~^

В этой теореме в дополнение к известным (см. в [115] теорему 22 (стр. 141-146) и теорему 19 (стр. 126-130)) дан еще один критерий равномерной распределенности сеток Коробова.
Таким образом, задача построения равномерно распределенной сетки Коробова сведена к проверке выполнения неравенства (34) при каком-либо целом г > 1 для алгебраического многочлена Бернулли Ьг(х).