Когомологии квантовых банаховых и полинормированных алгебр

• Автор: Волосова, Нина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 122 с.

Содержание
Введение
1 Квантовые пространства и алгебры
1.1 Начальные сведения
1.1.1 Квантовые нолинормированные пространства и вполне непрерывные операторы
1.1.2 Основные конструкции: подпространство, факторпространство, декартово произведение
и пополнение
1.2 Минимальное и максимальное квантование
1.3 Квантовые тензорные произведения
1.3.1 Сильно и слабо вполне непрерывные билинейные
операторы
1.3.2 Хаагерупово тензорное произведение
1.3.3 Операторно-проективное тензорное произведение
1.3.4 Свойства квантовых тензорных произведений
1.3.5 Коммутирование с декартовым произведением
1.4 Квантовые нолинормированные алгебры и
их дифференцирования
2 Гомологические свойства
квантовых банаховых алгебр
2.1 Начальные сведения
2.2 Проективные идеалы в коммутативных
квантовых банаховых алгебрах
2.2.1 Скелет и спектр проективного идеала
2.2.2 Критерий проективности идеала в квантовой банаховой алгебре С(П)
2.3 Теорема о глобальной размерности
2.3.1 Сведение задачи к случаю наследственных
алгебр

2.3.2 Раскручивающая резольвента
2.3.3 Некоторые свойства проективных
максимальных идеалов
2.3.4 Тривиальная группа расширений
2.3.5 Нижняя оценка норм почти треугольных
элементов
2.3.6 Нетривиальная группа расширений
2.3.7 Неизолированные точки на границе Шилова
3 Когомологически тривиальные
квантовые полинормированные алгебры
3.1 Квантовые алгебры Аренса Майкла и
их описание в терминах банаховых алгебр
3.2 Стягиваемые квантовые полинормированные алгебры
3.2.1 Диагонали в тензорном квадрате

3.2.2 Стягиваемые 0-алгебры Аренса-Майкла
3.2.3 Оболочка Аренса-Майкла и стягиваемые
полинормированные 0-алгебры
Список литературы

Введение
Предмет диссертации относится к квантовому функциональному анализу, также называемому теорией операторных пространств (см. [29, 31, 49]). Временем возникновения этого направления в современном анализе можно считать начало 80-ых годов прошлого века, когда в работах Г. Виттстока, У. Хаагерупа и В. Полсена появилось понятие вполне ограниченного отображения (см. [59, 60, 35, 36, 40, 41]). Термин “квантованный функциональный анализ” впервые использовал Э. Эффрос [301 в 1986 году. Следуя [25]. мы используем более короткий термин “квантовый”. Отличительной чертой квантового анализа является наделение линейного пространства более богатой структурой —- квантовой нормой или семейством квантовых преднорм — по сравнению с обычными нормированными и локально выпуклыми пространствами, изучаемыми “классическим” функциональным анализом. Рассмотрение именно квантовой (а не обычной) нормы и соответствующего этой структуре типа ограниченности операторов естественно и целесообразно для довольно большого круга задач. Некоторые вопросы, не имеющие удовлетворительных ответов в терминах классического функционального анализа, получают изящное решение, будучи поставлены в рамках квантовой теории.
Существует два по сути эквивалентных подхода к тому, что называть квантовой нормой в линейном пространстве Е. Первый заключается в рассмотрении семейства норм, удовлетворяющих определённым условиям (так называемым аксиомам Руана), в пространствах матриц с элементами из Е. Эта теория развита в монографиях [29, 31, 46]. Другой подход предполагает рассмотрение одной нормы (также удовлетворяющей соответствующей версии аксиом Руана), а не их семейства, но в “большем” пространстве, а именно в алгебраическом тензорном произведении Е ® Е, где Е -- пространство всех ограниченных конечномерных операторов в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве. Изложение теории квантовых нормированных пространств с этой точки зрения можно найти в [25].

и его слабое размножение 0: ТЕ х ТЕ —» Т{Е 0 і71). Обозначим через
О: ТЕ®ТЕ Т{Е®Е)
линейный оператор, ассоциированный с 0, и для и Є ТЕ, V Є ТЕ будем использовать обозначение и()у вместо <0(іі 0 у) = 0(м, и). Таким образом, эта операция корректно определена на элементарных тензорах равенством ахЬу — (а()Ъ){х 0 у). Отметим следующие свойства операции <}:
(а§Ъ) (иг>) (с<С>с?) = (а и - с)()(Ь V (і)
для всех а Є ТЕ, V Є ТЕ, а, Ь, с, сі Є ІЗ:
у()и = А Коо(иу) А,

/с: Е 0 А —> Т1 0 Е [х 0 у > у 0 х),
А Є В - некоторый унитарный самосопряжённый оператор.
Теперь рассмотрим оператор
>: Т 0 .ГЯ %ТЕ®Т -> Л А 0 Л,
ассоциированный с полилинейным оператором
(а, и,у,Ь) н-» а (и<С>ъ>)
Этот оператор слоръективен (см. [25, предложение 6.2.б[); значит, мы можем рассматривать Т(Е®Е) как факторпространство пространства Т 0 ТЕ 0 А"О 0 Л и дЛЯ проективных преднорм в последнем пространстве мы получаем соответствующие им факторпреднормы в Т(Е 0 Т). Именно, для С/ Є Л 0 Т1) и Л Є Л, д є М определим