Принцип неопределенности и нелокальные дифференциальные операторы бесконечного порядка

• Автор: Каргаев, Павел Петрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 77 c. : ил

Глава I. Почти-характеристические функции со спектральным люком
Глава 2. Решение задачи Н.А.Сапогова
Глава 3. Носители зарядов со спектральным люком и
теорема Бенедикса
Глава А. Нелокальные почти-дифференциальные операторы и интерполяция функциями с редким
спектром
Глава 5. (^+6 ) - периодические в среднем функции, равные нулю на 39?] и["ЗЯ'7~£Я:]
(ответ на вопрос Ю.И.Любича)
Литература

Хорошо известно, что ненулевая функция и ее преобразование Фурье не могут быть одновременно "очень малыми" (например, обращаться в нуль на "больших" множествах). Этот эффект лежит в основе многих важных теорем единственности гармонического анализа и теории функций. В физике его называют "принципом неопределенности".
Диссертация посвящена исследованию некоторых конкретных проявлений этого принципа. Она состоит из введения и пяти глав. Перейдем к обзору ее содержания.
Целью первых двух глав, в основном, является ответ на следующий вопрос, поставленный Н.Л.Сапоговым (см.[тб]):
существует ли такое множество (Е положительной и конечной меры Лебега, что функция /1^, тождественно равна нулю на непустом интервале?
(Зде^сь обозначает характеристическую функцию множества Е,
а ^ - преобразование Фурье функции ^ ). Ответ на этот вопрос оказался положительным.
Препятствием к построению искомого множества Е служат известные свойства (квази) аналитичности преобразования Фурье. Так, например, сразу^сно, что если множество Е ограничено сверху или снизу, то КЕ может обратиться в нуль радве лишь на множестве нулевой меры Лебега (ведь В этом случае %£ есть граничное значение функции, ограниченной и аналитической в некоторой полуплоскости). Аналогичное заключение верно и тогда, когда
Г-Н-

это следует из известной теоремы Берлинга о квазианалитичности преобразований Фурье. '
Мы покажем (см.гл.2), что других препятствий к построению множества £ , для которого О < ЖЯЛ Ё<4-оо , а нули функции %£ заполняют интервал, грубо говоря, не существует:
будет построена система попарно дизюнктных интервалов {(«■п.,
а-п.+КИмЪта|ИЯ-что
А^о, 12 к к+оо, А^хкп),
/г€£,
где *Ь - любая наперед заданная достаточно правильная положительная функция, подчиненная условиям + со
ГЦ^1 <£х>-оо 1(Х) (1x1/4- оо),
1 / +ХГ }

причем У 7=0 , где - некоторый интервал (наша конструкция позволяет выбрать в качестве любое число, меньшее ).
Множество Ё замечательно еще в одном отношении: существуют две различные вероятностные борелевские меры (в 1Ё ), совпадающие на всех его сдвигах (см.|г5^ а также заключительные замечания в гл.2).
В первой главе диссертации указан способ построения множеств ЕсЯ. и вещественных функций Тг- , обладающих следующими
# # Л/ .
свойствами: £<+ Оо , (0) содержит интервал. Задача сводится к исследованию некоторых гильбертовых многообразий и, в конечном счете, решается с помощью бесконечномерного варианта теоремы о неявной функции.
Результаты первой главы можно связать с формулой суммирования Пуассона:

мулированный выше вопрос действительно является обобщением основной задачи главы (с заменой -нормы на -норму).
Хорошо известно решение задачи о полноте Кд в том случае, когда (см. работы С.Н.Мергеляна [Г3_], Н.И.Ахиезера [^2] и П.Кусиса Ы; в первых двух работах речь идет, правда, об аппроксимации полиномами в пространстве с весом, однако методы этих работ оказались решающими). А именно, вводится функция.
ли/о {//{&/: £
- целая функция экспоненциального типа не выше и такая, что //4^/ .
В терминах этой функции ответ выписывается чрезвычайно просто: будет плотным подмножеством пространства ШУ в
том и только в том случае, когда

Введем по аналогии следующую функцию:
Уд^(Ъ)=^{ , ///^ <у
Она определена при ъ у 0 . Целью нашего последнего замечания в этой главе является доказательство следующего предложения. Предложение 9.
а). Если ^ (%о)< + С<> для некоторой точки
не плотно в
б). Если Кд не плотно в тл то ©о и для любого р°

Доказательство..Покажем сначала, что если ТО ^ {ос]- ~ токе принадлежит Кд . Для этого до-